ベクトル方程式 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ で与えられる平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル方程式 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ で与えられる平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ は、$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と表されます。

まず、この式を以下のように変形します。

$\begin{pmatrix} x+1 \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

ここで、2つのベクトル $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ の外積を計算します。外積は平面の法線ベクトルを与えるからです。

$\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) - (4)(1) \\ (4)(-2) - (-2)(2) \\ (-2)(1) - (2)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-4 \\ -8+4 \\ -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

得られた法線ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を用いて、平面の方程式は $0(x+1) - 4(y) + 2(z) = 0$ と表されます。

これを整理すると、$-4y + 2z = 0$ となります。

この式を2で割ると、$-2y + z = 0$ となります。

したがって、平面の方程式は $0x - 2y + z = 0$ となります。

3. 最終的な答え

0x + (-2)y + z + 0 = 0