## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、極座標表示された方程式を直交座標の方程式に変換し、その図形の種類を特定する問題（問題3）と、直交座標表示された方程式を極座標の方程式に変換する問題（問題4）です。

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2. 解き方の手順

### 問題3

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係は以下の通りです。

* $x = r \cos \theta$

* $y = r \sin \theta$

* $r^2 = x^2 + y^2$

これらの関係式を用いて、極座標の方程式を直交座標の方程式に変換します。

(1) $r \cos \theta = 3$

$x = r \cos \theta$ なので、これは $x = 3$ を意味します。これは $x=3$ の直線を表します。

(2) $r \sin \theta = 6$

$y = r \sin \theta$ なので、これは $y = 6$ を意味します。これは $y=6$ の直線を表します。

(3) $r = 2 \cos \theta$

両辺に $r$ を掛けると、$r^2 = 2r \cos \theta$ となります。

$x^2 + y^2 = 2x$ となり、$x^2 - 2x + y^2 = 0$ と変形できます。

さらに、$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$ と変形すると、$(x - 1)^2 + y^2 = 1$ となります。これは、中心が $(1, 0)$ で半径が $1$ の円を表します。

(4) $r = 6 \sin \theta$

両辺に $r$ を掛けると、$r^2 = 6r \sin \theta$ となります。

$x^2 + y^2 = 6y$ となり、$x^2 + y^2 - 6y = 0$ と変形できます。

さらに、$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 9$ と変形すると、$x^2 + (y - 3)^2 = 9$ となります。これは、中心が $(0, 3)$ で半径が $3$ の円を表します。

(5) $2r(1 + \sin \theta) = 1$

$2r + 2r \sin \theta = 1$

$2r = 1 - 2r \sin \theta$

$2r = 1 - 2y$

両辺を2乗すると、$4r^2 = (1 - 2y)^2$

$4(x^2 + y^2) = 1 - 4y + 4y^2$

$4x^2 + 4y^2 = 1 - 4y + 4y^2$

$4x^2 = 1 - 4y$

$4y = 1 - 4x^2$

$y = \frac{1}{4} - x^2$ 。これは、下に凸の放物線を表します。

(6) $r^2 \sin 2\theta = 2$

$r^2 (2 \sin \theta \cos \theta) = 2$

$2 (r \sin \theta)(r \cos \theta) = 2$

$2xy = 2$

$xy = 1$ 。これは双曲線を表します。

### 問題4

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は以下の通りです。

* $x = r \cos \theta$

* $y = r \sin \theta$

これらの関係式を用いて、直交座標の方程式を極座標の方程式に変換します。

(1) $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$r \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} r \cos \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \theta$

$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) $x^2 + y^2 = 2$

$r^2 = 2$

$r = \sqrt{2}$

(3) $x - y = 2$

$r \cos \theta - r \sin \theta = 2$

$r (\cos \theta - \sin \theta) = 2$

$r = \frac{2}{\cos \theta - \sin \theta}$

(4) $x^2 + y^2 - 4x = 0$

$r^2 - 4r \cos \theta = 0$

$r(r - 4 \cos \theta) = 0$

$r = 4 \cos \theta$

(5) $x^2 - y^2 = 3$

$(r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 = 3$

$r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 3$

$r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 3$

$r^2 \cos 2\theta = 3$

$r^2 = \frac{3}{\cos 2\theta}$

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3. 最終的な答え

### 問題3

(1) $x = 3$ (直線)

(2) $y = 6$ (直線)

(3) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ (円)

(4) $x^2 + (y - 3)^2 = 9$ (円)

(5) $y = \frac{1}{4} - x^2$ (放物線)

(6) $xy = 1$ (双曲線)

### 問題4

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) $r = \sqrt{2}$

(3) $r = \frac{2}{\cos \theta - \sin \theta}$

(4) $r = 4 \cos \theta$

(5) $r^2 = \frac{3}{\cos 2\theta}$