座標平面上に3点O(0,0), A(3,2), B(1,5)がある。 (1) 三角形OABの面積を求める。 (2) $s$と$t$が条件$s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$を満たすとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で定まる点Pの存在する範囲の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点O(0,0), A(3,2), B(1,5)がある。

(1) 三角形OABの面積を求める。

(2) $s$と$t$が条件$s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$を満たすとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で定まる点Pの存在する範囲の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OABの面積は、ベクトル$\overrightarrow{OA}=(3,2)$と$\overrightarrow{OB}=(1,5)$を使って計算できる。面積$S$は以下の式で求められる。

$S = \frac{1}{2} |(3)(5) - (2)(1)|$

$S = \frac{1}{2} |15 - 2| = \frac{1}{2} |13| = \frac{13}{2}$

(2)

$s+t = k$とおくと、$1 \le k \le 2$である。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = (s+t)(\frac{s}{s+t}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{s+t}\overrightarrow{OB}) = k (\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{k}\overrightarrow{OB})$

ここで、$\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = \frac{s+t}{k} = \frac{k}{k} = 1$であり、$\frac{s}{k} \ge 0$, $\frac{t}{k} \ge 0$。

よって、$\frac{s}{k} = s'$ と $\frac{t}{k} = t'$ とおくと、$s' + t' = 1$、$s' \ge 0$, $t' \ge 0$となる。

$\overrightarrow{OP} = k (s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB})$となる。

$s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$は線分AB上の点を表す。つまり$\overrightarrow{OC} = s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$とすると、点Cは線分AB上にある。

$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OC}$で、$1 \le k \le 2$より、点Pは線分OCを1倍から2倍に伸ばした位置にある。

したがって、点Pの存在する領域は、三角形OABを平行移動させてできる領域と、三角形OABを2倍に拡大した領域の差となる。

A(3, 2), B(1, 5)に対して、線分ABの長さは$\sqrt{(3-1)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$s+t=1$のとき、線分AB。$s+t=2$のとき、線分A'B'。ここでA'はAを原点中心に2倍したもの、B'はBを原点中心に2倍したもの。

A'(6, 4), B'(2, 10)。

求める面積は、(s+t=2の時の面積) - (s+t=1の時の面積)

三角形OA'B'の面積は三角形OABの面積の4倍なので、$4(\frac{13}{2}) = 26$

三角形OABの面積は$\frac{13}{2}$

よって、求める面積は$26 - \frac{13}{2} = \frac{52 - 13}{2} = \frac{39}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{2}$

(2) $\frac{39}{2}$