与えられた2つの直線が、それぞれ平行、垂直のいずれの関係にあるかを判定する問題です。具体的には、以下の4組の直線について判定します。 (1) $y=4x+1$, $y=4x-3$ (2) $y=3x-1$, $x+3y+2=0$ (3) $2x+3y=3$, $4x+6y=5$ (4) $3x+4y=2$, $4x-3y=1$

1. 問題の内容

与えられた2つの直線が、それぞれ平行、垂直のいずれの関係にあるかを判定する問題です。具体的には、以下の4組の直線について判定します。

(1) $y=4x+1$, $y=4x-3$

(2) $y=3x-1$, $x+3y+2=0$

(3) $2x+3y=3$, $4x+6y=5$

(4) $3x+4y=2$, $4x-3y=1$

2. 解き方の手順

直線の傾きを比較することで、平行・垂直の関係を判定します。

* **平行**: 2直線の傾きが等しい ($m_1 = m_2$)

* **垂直**: 2直線の傾きの積が-1 ($m_1 m_2 = -1$)

まず、各直線を $y = mx + n$ の形に変形し、傾き $m$ を求めます。

(1) $y = 4x + 1$, $y = 4x - 3$

それぞれの傾きは $m_1 = 4$ と $m_2 = 4$ です。

$m_1 = m_2$ なので、平行です。

(2) $y = 3x - 1$, $x + 3y + 2 = 0$

1つ目の直線の傾きは $m_1 = 3$ です。

2つ目の直線を変形すると $3y = -x - 2$ より $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ なので、傾きは $m_2 = -\frac{1}{3}$ です。

$m_1 m_2 = 3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ なので、垂直です。

(3) $2x + 3y = 3$, $4x + 6y = 5$

1つ目の直線を変形すると $3y = -2x + 3$ より $y = -\frac{2}{3}x + 1$ なので、傾きは $m_1 = -\frac{2}{3}$ です。

2つ目の直線を変形すると $6y = -4x + 5$ より $y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{6}$ なので、傾きは $m_2 = -\frac{2}{3}$ です。

$m_1 = m_2$ なので、平行です。

(4) $3x + 4y = 2$, $4x - 3y = 1$

1つ目の直線を変形すると $4y = -3x + 2$ より $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ なので、傾きは $m_1 = -\frac{3}{4}$ です。

2つ目の直線を変形すると $3y = 4x - 1$ より $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ なので、傾きは $m_2 = \frac{4}{3}$ です。

$m_1 m_2 = (-\frac{3}{4}) \times (\frac{4}{3}) = -1$ なので、垂直です。

3. 最終的な答え

(1) 平行

(2) 垂直

(3) 平行

(4) 垂直