四面体ABCDにおいて、$AB=AC=AD=3$、$BC=CD=DB=\sqrt{3}$のとき、この四面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB=AC=AD=3$、$BC=CD=DB=\sqrt{3}$のとき、この四面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDは正三角形であることに注目する。この正三角形BCDを底面とし、点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとする。

$AB=AC=AD$であることから、$HB=HC=HD$となる。つまり、Hは三角形BCDの外心となる。

三角形BCDは一辺の長さが$\sqrt{3}$の正三角形なので、その外接円の半径は、

$R = \frac{\sqrt{3}}{2\sin{60^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$

よって、$HB=HC=HD=1$である。

三角形ABHは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$

$AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、正三角形BCDの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

四面体ABCDの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot AH = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{2}$