三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分IHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分IHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理とチェバの定理を利用して解くことができます。

まず、三角形ABHに対して直線ECでメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CH} \cdot \frac{HI}{IA} = 1$

$AB=15cm$より$AE = \frac{2}{3}AB = 10cm$、$EB = \frac{1}{3}AB = 5cm$。

$AC=12cm$より$CH = \frac{1}{4}AC = 3cm$、$AH = \frac{3}{4}AC = 9cm$なので、$BC = BH + HC$だが、今のところ不明。

上記のメネラウスの定理に代入して、

$\frac{10}{5} \cdot \frac{BC}{3} \cdot \frac{HI}{IA} = 1$

$2 \cdot \frac{BC}{3} \cdot \frac{HI}{IA} = 1$

$\frac{HI}{IA} = \frac{3}{2BC}$

次に、三角形ACHに対して直線BHでメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AH}{HC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EI}{IA} = 1$

$\frac{9}{3} \cdot \frac{CB}{5} \cdot \frac{EI}{IE} = 1$

$3 \cdot \frac{CB}{5} \cdot \frac{EI}{IA} = 1$

$\frac{EI}{IA} = \frac{5}{3CB}$

次に、点Aから直線BCへ下ろした垂線の足をKとする。

三角形ABCに対してチェバの定理を用いると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

この問題では、長さの比ではなく、線分の比なので、メネラウスの定理を用いる方が適切です。

改めて、三角形ABHに対して、直線ECでメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AE}{EB}\times\frac{BI}{IH}\times\frac{HC}{CA}=1$

$\frac{10}{5}\times\frac{BI}{IH}\times\frac{3}{12}=1$

$2\times\frac{BI}{IH}\times\frac{1}{4}=1$

$\frac{BI}{IH}=2$

$\frac{BI}{BH}=\frac{2}{3}$

したがって、$BI = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \times 12 = 8$

$IH = BH - BI = 12 - 8 = 4$

3. 最終的な答え

4 cm