座標平面上の3点O(0, 0), A(3, 2), B(1, 5)が与えられている。 (1) 三角形OABの面積を求める。 (2) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$を満たすとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で定まる点Pの存在する範囲の面積を求める。

## 問題356の解答

1. 問題の内容

座標平面上の3点O(0, 0), A(3, 2), B(1, 5)が与えられている。

(1) 三角形OABの面積を求める。

(2) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$を満たすとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で定まる点Pの存在する範囲の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて計算できる。

面積Sは、以下の式で与えられる。

$S = \frac{1}{2} |(3 \times 5) - (2 \times 1)|$

(2) 点Pの存在する範囲の面積を求める。

条件$1 \le s+t \le 2$を変形する。

まず、$s+t = u$とおくと、$1 \le u \le 2$となる。

このとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = u (\frac{s}{u}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{u}\overrightarrow{OB})$となる。

$\frac{s}{u} + \frac{t}{u} = 1$より、$\overrightarrow{OC} = \frac{s}{u}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{u}\overrightarrow{OB}$は、線分AB上の点を表す。

したがって、$\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OC}$となり、$\overrightarrow{OC}$を$1 \le u \le 2$倍したものが$\overrightarrow{OP}$となる。

これは、線分ABをそれぞれ1倍と2倍した線分によって囲まれた領域である。

言い換えると、線分OA, OBをそれぞれ平行移動した線分で囲まれた領域。

$s+t = 1$のとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$は線分ABを表す。

$s+t = 2$のとき、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = 2(\frac{s}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{2}\overrightarrow{OB})$となる。$\frac{s}{2} + \frac{t}{2} = 1$より、$\overrightarrow{OP}$は、線分OA, OBの2倍である2A, 2Bを結んだ線分となる。

したがって、点Pの存在する領域は、平行四辺形OAB'A'（B' = 2B, A' = 2A）から、平行四辺形OABを引いた領域となる。

平行四辺形OAB'A'の面積は、平行四辺形OABの面積の4倍である。

したがって、求める面積は、平行四辺形OABの面積の3倍となる。

平行四辺形OABの面積は三角形OABの面積の2倍なので、求める面積は、三角形OABの面積の6倍。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{2}$

(2) 39