円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=3, CD=3, 角B=60°とする。このとき、AC, 角D, ADを求め、さらに四角形ABCDの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=3, CD=3, 角B=60°とする。このとき、AC, 角D, ADを求め、さらに四角形ABCDの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ACを求める

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{B}$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 16 + 9 - 24 \times \frac{1}{2}$

$AC^2 = 25 - 12 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

(2) 角Dを求める

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°である。

$∠D + ∠B = 180^\circ$

$∠D = 180^\circ - ∠B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

(3) ADを求める

三角形ACDにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos{D}$

$13 = AD^2 + 3^2 - 2 \times AD \times 3 \times \cos{120^\circ}$

$13 = AD^2 + 9 - 6 \times AD \times (-\frac{1}{2})$

$13 = AD^2 + 9 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 4 = 0$

$(AD + 4)(AD - 1) = 0$

$AD = -4, 1$

$AD > 0$より、$AD = 1$

(4) 四角形ABCDの面積を求める

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ACDの面積の和である。

三角形ABCの面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{B} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin{60^\circ}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

三角形ACDの面積は、

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CD \times \sin{D} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 \times \sin{120^\circ}$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積は、

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

AC = $\sqrt{13}$

∠D = 120°

AD = 1

四角形ABCDの面積は $\frac{15\sqrt{3}}{4}$