与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について円の方程式を求めます。 (1) A(-2, 0), B(-2, 8), C(1, -1) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

1. 問題の内容

与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について円の方程式を求めます。

(1) A(-2, 0), B(-2, 8), C(1, -1)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形は $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ で表されます。この式に、与えられた3点の座標を代入し、l, m, nに関する3元連立一次方程式を立てて解くことで、円の方程式を求めることができます。

(1) A(-2, 0), B(-2, 8), C(1, -1) を通る場合

Aを通る条件: $(-2)^2 + 0^2 - 2l + 0m + n = 0$ より、

$4 - 2l + n = 0$　… (1)

Bを通る条件: $(-2)^2 + 8^2 - 2l + 8m + n = 0$ より、

$4 + 64 - 2l + 8m + n = 0$　すなわち $68 - 2l + 8m + n = 0$　… (2)

Cを通る条件: $1^2 + (-1)^2 + l - m + n = 0$ より、

$1 + 1 + l - m + n = 0$　すなわち $2 + l - m + n = 0$　… (3)

(2) - (1) より、 $64 + 8m = 0$ よって $m = -8$

(3) より、 $l + 8 + n = -2$ すなわち $l + n = -10$　… (4)

(1) より、 $-2l + n = -4$　… (5)

(4) - (5) より、 $3l = -6$ よって $l = -2$

(4) より、 $-2 + n = -10$ よって $n = -8$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$

平方完成すると $(x-1)^2 - 1 + (y-4)^2 - 16 - 8 = 0$ より、 $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25$

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2) を通る場合

Aを通る条件: $1^2 + 3^2 + l + 3m + n = 0$ より、

$1 + 9 + l + 3m + n = 0$　すなわち $l + 3m + n = -10$　… (1)

Bを通る条件: $5^2 + (-5)^2 + 5l - 5m + n = 0$ より、

$25 + 25 + 5l - 5m + n = 0$　すなわち $5l - 5m + n = -50$　… (2)

Cを通る条件: $4^2 + 2^2 + 4l + 2m + n = 0$ より、

$16 + 4 + 4l + 2m + n = 0$　すなわち $4l + 2m + n = -20$　… (3)

(2) - (1) より、 $4l - 8m = -40$　すなわち $l - 2m = -10$　… (4)

(3) - (1) より、 $3l - m = -10$　… (5)

(5) - 3 * (4) より、 $3l - m - 3l + 6m = -10 + 30$ よって $5m = 20$ ゆえに $m = 4$

(4) より、 $l - 8 = -10$ よって $l = -2$

(1) より、 $-2 + 12 + n = -10$ よって $n = -20$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

平方完成すると $(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 - 20 = 0$ より、 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25$ または $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$

(2) $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ または $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$