空間内の4点A(3, 6, 0), B(1, 4, 0), C(0, 5, 4), D(3, 4, 5)が与えられている。点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。$\vec{AH}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$ (s, tは実数)とおけるとき、 $\vec{DH}\perp\vec{AB}$ および $\vec{DH}\perp\vec{AC}$ からsとtを求め、点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の4点A(3, 6, 0), B(1, 4, 0), C(0, 5, 4), D(3, 4, 5)が与えられている。点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。$\vec{AH}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$ (s, tは実数)とおけるとき、

$\vec{DH}\perp\vec{AB}$ および $\vec{DH}\perp\vec{AC}$ からsとtを求め、点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{DH}$ を計算する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1-3, 4-6, 0-0) = (-2, -2, 0)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0-3, 5-6, 4-0) = (-3, -1, 4)$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = (3-3, 4-6, 5-0) = (0, -2, 5)$

$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC} = s(-2, -2, 0) + t(-3, -1, 4) = (-2s-3t, -2s-t, 4t)$

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = (3, 6, 0) + (-2s-3t, -2s-t, 4t) = (3-2s-3t, 6-2s-t, 4t)$

$\vec{DH} = \vec{OH} - \vec{OD} = (3-2s-3t-3, 6-2s-t-4, 4t-5) = (-2s-3t, 2-2s-t, 4t-5)$

$\vec{DH}\perp\vec{AB}$ より、$\vec{DH}\cdot\vec{AB} = 0$

$(-2s-3t)(-2) + (2-2s-t)(-2) + (4t-5)(0) = 0$

$4s + 6t - 4 + 4s + 2t = 0$

$8s + 8t - 4 = 0$

$2s + 2t - 1 = 0$

$\vec{DH}\perp\vec{AC}$ より、$\vec{DH}\cdot\vec{AC} = 0$

$(-2s-3t)(-3) + (2-2s-t)(-1) + (4t-5)(4) = 0$

$6s + 9t - 2 + 2s + t + 16t - 20 = 0$

$8s + 26t - 22 = 0$

$4s + 13t - 11 = 0$

連立方程式を解く。

$2s + 2t - 1 = 0$

$4s + 13t - 11 = 0$

1番目の式を2倍して、2番目の式から引く。

$4s + 4t - 2 = 0$

$(4s + 13t - 11) - (4s + 4t - 2) = 0$

$9t - 9 = 0$

$t = 1$

$2s + 2(1) - 1 = 0$

$2s + 1 = 0$

$s = -\frac{1}{2}$

$H(3-2s-3t, 6-2s-t, 4t) = H(3-2(-\frac{1}{2})-3(1), 6-2(-\frac{1}{2})-1, 4(1)) = H(3+1-3, 6+1-1, 4) = H(1, 6, 4)$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 4

エオ: 13

カキ: -1

ク: 2

ケ: 1

コ: 1

サ: 6

シ: 4

したがって、$s = -\frac{1}{2}$, $t=1$, $H(1, 6, 4)$