三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分IHの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。AB=15cm, AC=12cm, BH=12cmのとき、線分IHの長さを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して、線分IHの長さを求める。

まず、三角形ACHと直線BHについて、メネラウスの定理より

$\frac{AH}{HC} \times \frac{CB}{BE} \times \frac{EI}{IA} = 1$

AH = AC x $\frac{3}{4}$ = 12cm x $\frac{3}{4}$ = 9cm

HC = AC x $\frac{1}{4}$ = 12cm x $\frac{1}{4}$ = 3cm

BE = $\frac{2}{3}$AB = $\frac{2}{3} \times 15$ = 10cm

EB = 10cm

CB = わからない

$CB = CE+EB$

$CE = わからない$

次に、三角形ABEと直線BHについて、メネラウスの定理より

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BI}{IH} \times \frac{HC}{CA}=1$

AE = AB x $\frac{1}{3}$ = 15 x $\frac{1}{3}$ = 5cm

EB = $\frac{2}{3}$AB = $\frac{2}{3} \times 15$ = 10cm

HC = $\frac{1}{4}$AC = $\frac{1}{4} \times 12$ = 3cm

AC = 12cm

よって、

$\frac{5}{10} \times \frac{BI}{IH} \times \frac{3}{12}=1$

$\frac{1}{2} \times \frac{BI}{IH} \times \frac{1}{4}=1$

$\frac{BI}{IH} = 8$

したがって、$BI=8IH$

また、$BI+IH=BH$なので、$8IH+IH=12$cm

$9IH=12$cm

$IH=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$cm

3. 最終的な答え

線分IHの長さは $\frac{4}{3}$ cm である。