(1) 図に示された長方形に含まれる長方形の総数を求めます。 (2) 正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作ります。 (ア) 作れる三角形の総数を求めます。 (イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。 (ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

1. 問題の内容

(1) 図に示された長方形に含まれる長方形の総数を求めます。

(2) 正十角形ABCDEFGHIJの3つの頂点を結んで三角形を作ります。

(ア) 作れる三角形の総数を求めます。

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。

(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の総数を求める手順：

- 長方形は縦2本と横2本の線分の組み合わせで決まります。

- 縦の線は4本あり、その中から2本選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

- 横の線は3本あり、その中から2本選ぶ組み合わせは $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通りです。

- したがって、長方形の総数は、6 × 3 = 18個です。

(2)(ア)三角形の総数を求める手順：

- 正十角形の頂点は10個あり、その中から3個選ぶことで三角形が1つ決まります。

- 10個から3個選ぶ組み合わせは $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通りです。

(2)(イ)正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める手順：

- 正十角形の辺は10本あります。

- 1つの辺を選んだとき、その両端の頂点以外の頂点は10 - 2 - 2 = 6個です。

- したがって、1辺を共有する三角形の数は、10 × 6 = 60個です。

(2)(ウ)正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める手順：

- 全ての三角形の数から、辺を共有する三角形の数を引けば、辺を共有しない三角形の数が求められます。ただし、1辺だけを共有する三角形と、2辺を共有する三角形に分ける必要があります。

- 2辺を共有する三角形は10個あります(例えば、頂点A,B,Cを選んだときなど)。

- 1辺を共有する三角形は60個です。

- したがって、辺を共有する三角形の数は、60+10=70個です。

- 辺を共有しない三角形の数は、120 - 70 = 50個です。

3. 最終的な答え

(1) 18個

(2)(ア) 120個

(2)(イ) 60個

(2)(ウ) 50個