三角形ABCがあり、AB=6、BC=8、面積が$3\sqrt{15}$である。この三角形の内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=6、BC=8、面積が$3\sqrt{15}$である。この三角形の内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積をS、内接円の半径をr、三角形の3辺の長さをa, b, cとすると、

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

が成り立つ。

今回は、a=6, b=8, $S = 3\sqrt{15}$なので、cを求める必要がある。

余弦定理より

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

が成り立つ。

また、三角形の面積の公式

$S = \frac{1}{2}ac\sin{B}$

より、

$\sin{B} = \frac{2S}{ac} = \frac{2 \times 3\sqrt{15}}{6c} = \frac{\sqrt{15}}{c}$

$\cos^2{B} + \sin^2{B} = 1$

なので、

$\cos^2{B} = 1 - \sin^2{B} = 1 - \frac{15}{c^2} = \frac{c^2 - 15}{c^2}$

$\cos{B} = \pm \sqrt{\frac{c^2 - 15}{c^2}} = \pm \frac{\sqrt{c^2 - 15}}{c}$

これを余弦定理の式に代入すると

$8^2 = 6^2 + c^2 - 2 \times 6 \times c \times (\pm \frac{\sqrt{c^2 - 15}}{c})$

$64 = 36 + c^2 \mp 12\sqrt{c^2 - 15}$

$28 - c^2 = \mp 12\sqrt{c^2 - 15}$

$(28 - c^2)^2 = 144(c^2 - 15)$

$784 - 56c^2 + c^4 = 144c^2 - 2160$

$c^4 - 200c^2 + 2944 = 0$

$c^2 = \frac{200 \pm \sqrt{200^2 - 4 \times 2944}}{2} = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 11776}}{2} = \frac{200 \pm \sqrt{28224}}{2} = \frac{200 \pm 168}{2}$

$c^2 = 184$ or $16$

$c = \sqrt{184} = 2\sqrt{46}$ or $c=4$

$c=4$の場合、$\sin{B} = \frac{\sqrt{15}}{4}$となり、$\cos{B} = \pm \frac{1}{4}$なので、$8^2 = 6^2 + 4^2 - 2\times6\times4\times (\pm \frac{1}{4})$、$64 = 36+16 \mp 12$より、$64 = 52 \mp 12$となるので、$64 = 40$または$64 = 64$となり、成り立つ可能性がある。

$c=2\sqrt{46}$の場合、$\sin{B} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{46}} = \frac{\sqrt{690}}{92}$となり、$\cos{B} = \pm \frac{\sqrt{46^2-15}}{2\sqrt{46}}$となるので、成り立つ可能性がある。

しかし、$c=4$のとき、$6+4 < 8$となるので、三角形が成立しない。したがって、$c=2\sqrt{46}$。

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

$3\sqrt{15} = \frac{1}{2}r(6+8+2\sqrt{46})$

$6\sqrt{15} = r(14+2\sqrt{46})$

$r = \frac{6\sqrt{15}}{14+2\sqrt{46}} = \frac{3\sqrt{15}}{7+\sqrt{46}} = \frac{3\sqrt{15}(7-\sqrt{46})}{49-46} = \frac{3\sqrt{15}(7-\sqrt{46})}{3} = \sqrt{15}(7-\sqrt{46}) = 7\sqrt{15} - \sqrt{690}$

3. 最終的な答え

内接円の半径は、$7\sqrt{15} - \sqrt{690}$