直線 $l: y = 2x + 12$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。直線 $l$ と $m$ の交点を A, 直線 $l$ と x軸の交点を B, 直線 $m$ と x軸, y軸の交点をそれぞれ C, D とします。これらの点A, B, C, D の座標を求め、三角形ABCの面積、四角形ABODの面積を求め、さらに点Aを通り三角形ABCの面積を二等分する直線、点Bを通り三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x + 12$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。直線 $l$ と $m$ の交点を A, 直線 $l$ と x軸の交点を B, 直線 $m$ と x軸, y軸の交点をそれぞれ C, D とします。これらの点A, B, C, D の座標を求め、三角形ABCの面積、四角形ABODの面積を求め、さらに点Aを通り三角形ABCの面積を二等分する直線、点Bを通り三角形ABCの面積を二等分する直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める：

直線 $l$ と $m$ の交点Aの座標は、連立方程式

$y = 2x + 12$

$y = -x + 6$

を解くことで求められます。$2x + 12 = -x + 6$ より $3x = -6$ なので $x = -2$。 $y = -(-2) + 6 = 8$。よって、Aの座標は $(-2, 8)$。

(2) 点B, C, Dの座標を求める：

点Bは直線 $l$ と x軸の交点なので、$y = 0$ を $y = 2x + 12$ に代入すると、$0 = 2x + 12$ より $x = -6$。よって、Bの座標は $(-6, 0)$。

点Cは直線 $m$ と x軸の交点なので、$y = 0$ を $y = -x + 6$ に代入すると、$0 = -x + 6$ より $x = 6$。よって、Cの座標は $(6, 0)$。

点Dは直線 $m$ と y軸の交点なので、$x = 0$ を $y = -x + 6$ に代入すると、$y = 6$。よって、Dの座標は $(0, 6)$。

(3) △ABCの面積を求める：

△ABCの底辺をBCとすると、BCの長さは $6 - (-6) = 12$。高さは点Aのy座標である8。よって、△ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$。

(4) 四角形ABODの面積を求める：

四角形ABODは、△ABOと△AODに分割できます。

△ABOの面積は $\frac{1}{2} \times BO \times |Aのy座標|$ であり、BOの長さは $|-6-0| = 6$ なので、$\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$。

△AODの面積は $\frac{1}{2} \times OD \times |Aのx座標|$ であり、ODの長さは6なので、$\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$。

したがって、四角形ABODの面積は $24 + 6 = 30$。

(5) 点Aを通り、△ABCの面積を二等分する直線の式を求める：

△ABCの面積を二等分する直線は、辺BCの中点を通ります。BCの中点Mの座標は $\left( \frac{-6+6}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (0, 0)$。

点A $(-2, 8)$ と点M $(0, 0)$ を通る直線の式は、$y = ax$ とおくと、$8 = a \times (-2)$ より $a = -4$。よって、直線の式は $y = -4x$。

(6) 点Bを通り、△ABCの面積を二等分する直線の式を求める：

△ABCの面積を二等分する直線は、辺ACの中点を通ります。ACの中点Nの座標は $\left( \frac{-2+6}{2}, \frac{8+0}{2} \right) = (2, 4)$。

点B $(-6, 0)$ と点N $(2, 4)$ を通る直線の式を $y = ax + b$ とおくと、

$0 = -6a + b$

$4 = 2a + b$

この連立方程式を解くと、$8a = 4$ より $a = \frac{1}{2}$。$b = 6a = 6 \times \frac{1}{2} = 3$。

よって、直線の式は $y = \frac{1}{2}x + 3$。

3. 最終的な答え

(1) A(-2, 8)

(2) B(-6, 0), C(6, 0), D(0, 6)

(3) 48

(4) 30

(5) $y = -4x$

(6) $y = \frac{1}{2}x + 3$