3つの直線 $l: y = -x + 4$, $m: y = -2x - 2$, $n: y = x - 2$ があり、それぞれの交点をA, B, Cとする。 (1) 3点A, B, Cの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 次の点を通り、$\triangle ABC$の面積を2等分する直線の式をそれぞれ求めよ。 (1) 点A (2) 点B (3) 点C

1. 問題の内容

3つの直線 $l: y = -x + 4$, $m: y = -2x - 2$, $n: y = x - 2$ があり、それぞれの交点をA, B, Cとする。

(1) 3点A, B, Cの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 次の点を通り、$\triangle ABC$の面積を2等分する直線の式をそれぞれ求めよ。

(1) 点A

(2) 点B

(3) 点C

2. 解き方の手順

(1) 3点A, B, Cの座標を求める。

点Aは直線$l$と$m$の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 4$

$y = -2x - 2$

$-x + 4 = -2x - 2$

$x = -6$

$y = -(-6) + 4 = 10$

よって、A(-6, 10)

点Bは直線$m$と$n$の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -2x - 2$

$y = x - 2$

$-2x - 2 = x - 2$

$3x = 0$

$x = 0$

$y = 0 - 2 = -2$

よって、B(0, -2)

点Cは直線$l$と$n$の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 4$

$y = x - 2$

$-x + 4 = x - 2$

$2x = 6$

$x = 3$

$y = 3 - 2 = 1$

よって、C(3, 1)

(2) $\triangle ABC$の面積を2等分する直線の式を求める。

(1) 点Aを通る場合

$\triangle ABC$の面積を2等分する直線は、辺BCの中点を通る。

BCの中点をMとする。Mの座標は $((0+3)/2, (-2+1)/2) = (3/2, -1/2)$

A(-6, 10)とM(3/2, -1/2)を通る直線の式を求める。

傾きは $(-1/2 - 10) / (3/2 - (-6)) = (-21/2) / (15/2) = -21/15 = -7/5$

$y = -7/5 x + b$

$10 = -7/5 * (-6) + b$

$10 = 42/5 + b$

$b = 50/5 - 42/5 = 8/5$

よって、$y = -7/5 x + 8/5$

(2) 点Bを通る場合

$\triangle ABC$の面積を2等分する直線は、辺ACの中点を通る。

ACの中点をNとする。Nの座標は $((-6+3)/2, (10+1)/2) = (-3/2, 11/2)$

B(0, -2)とN(-3/2, 11/2)を通る直線の式を求める。

傾きは $(11/2 - (-2)) / (-3/2 - 0) = (15/2) / (-3/2) = -5$

$y = -5x + b$

$-2 = -5 * 0 + b$

$b = -2$

よって、$y = -5x - 2$

(3) 点Cを通る場合

$\triangle ABC$の面積を2等分する直線は、辺ABの中点を通る。

ABの中点をLとする。Lの座標は $((-6+0)/2, (10+(-2))/2) = (-3, 4)$

C(3, 1)とL(-3, 4)を通る直線の式を求める。

傾きは $(4 - 1) / (-3 - 3) = 3 / (-6) = -1/2$

$y = -1/2 x + b$

$1 = -1/2 * 3 + b$

$1 = -3/2 + b$

$b = 2/2 + 3/2 = 5/2$

よって、$y = -1/2 x + 5/2$

3. 最終的な答え

(1) A(-6, 10), B(0, -2), C(3, 1)

(2)

(1) $y = -7/5 x + 8/5$

(2) $y = -5x - 2$

(3) $y = -1/2 x + 5/2$