直線 $y=-4x+16$ (①) と $y=x+6$ (②) のグラフが与えられている。 (1) 図中の点A, B, C, D, E の座標を求める。 (2) 三角形BOA, ECA, BDE, 四角形DOAE の面積をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

直線 $y=-4x+16$ (①) と $y=x+6$ (②) のグラフが与えられている。

(1) 図中の点A, B, C, D, E の座標を求める。

(2) 三角形BOA, ECA, BDE, 四角形DOAE の面積をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 各点の座標を求める。

- 点A: 直線①とx軸の交点なので、y=0 を $y=-4x+16$ に代入すると、 $0 = -4x + 16$ より $x = 4$。したがって、A(4, 0)。

- 点B: 直線①とy軸の交点なので、$y=-4x+16$ に $x=0$ を代入すると、 $y = 16$。したがって、B(0, 16)。

- 点C: 直線②とx軸の交点なので、y=0 を $y=x+6$ に代入すると、 $0 = x + 6$ より $x = -6$。したがって、C(-6, 0)。

- 点D: 直線②とy軸の交点なので、$y=x+6$ に $x=0$ を代入すると、 $y = 6$。したがって、D(0, 6)。

- 点E: 直線①と直線②の交点なので、$y=-4x+16$ と $y=x+6$ を連立方程式として解く。

$-4x + 16 = x + 6$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = 2 + 6 = 8$

したがって、E(2, 8)。

(2) 各図形の面積を求める。

- 三角形BOA: 底辺OA = 4、高さOB = 16 なので、面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 16 = 32$。

- 三角形ECA: 底辺CA = OA + OC = 4 + 6 = 10、高さは点Eのy座標であるから8。よって、面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$。

- 三角形BDE:

D(0,6), B(0,16), E(2,8)である。

この３点を通る図形の面積は$\frac{1}{2} | (0 * (16-8) + 0 * (8-6) + 2 * (6-16))| = \frac{1}{2} |0 + 0 - 20 | = \frac{1}{2} * 20 = 10$。

- 四角形DOAE: 四角形DOAEは、三角形DOAと三角形EOAに分割できる。三角形DOAの面積は、底辺OA = 4、高さOD = 6 なので、 $\frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$。

三角形EOAの面積は、底辺OA = 4、高さは点Eのy座標であるから8。よって、面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$。

したがって、四角形DOAEの面積は $12 + 16 = 28$。

3. 最終的な答え

(1)

A(4, 0)

B(0, 16)

C(-6, 0)

D(0, 6)

E(2, 8)

(2)

三角形BOA = 32

三角形ECA = 40

三角形BDE = 10

四角形DOAE = 28