左側の問題は、与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。右側の問題は、円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=2x+m$ について、円と直線が共有点を持つときの $m$ の範囲、および円と直線が接するときの $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

左側の問題は、与えられた円と直線の共有点の座標を求める問題です。右側の問題は、円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=2x+m$ について、円と直線が共有点を持つときの $m$ の範囲、および円と直線が接するときの $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

左側の問題：

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ について、直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (x+1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x+4)(x-3) = 0$

$x = -4, 3$

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 1 = 4$

したがって、共有点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$ です。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ について、$y = 4 - x$ を円の式に代入します。

$x^2 + (4-x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 4 - 2 = 2$

したがって、共有点の座標は $(2, 2)$ です。

右側の問題：

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (2x+m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + m^2 - 5 = 0$

円と直線が共有点を持つ条件は、この2次方程式が実数解を持つことです。判別式 $D \geq 0$ を満たす必要があります。

$D = (4m)^2 - 4(5)(m^2 - 5) \geq 0$

$16m^2 - 20m^2 + 100 \geq 0$

$-4m^2 + 100 \geq 0$

$4m^2 \leq 100$

$m^2 \leq 25$

$-5 \leq m \leq 5$

したがって、$m$ の値の範囲は $-5 \leq m \leq 5$ です。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が接する条件は、判別式 $D = 0$ を満たすことです。

$-4m^2 + 100 = 0$

$4m^2 = 100$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

したがって、$m$ の値は $m = 5$ と $m = -5$ です。

3. 最終的な答え

左側の問題：

(1) $(-4, -3), (3, 4)$

(2) $(2, 2)$

右側の問題：

(1) $-5 \leq m \leq 5$

(2) $m = \pm 5$