3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、等式$\sqrt{3}\gamma - i\beta = (\sqrt{3} - i)\alpha$が成り立つとき、以下のものを求めます。 (ア) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値 (イ) $\triangle ABC$の3つの角の大きさ

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、等式$\sqrt{3}\gamma - i\beta = (\sqrt{3} - i)\alpha$が成り立つとき、以下のものを求めます。

(ア) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値

(イ) $\triangle ABC$の3つの角の大きさ

2. 解き方の手順

(ア) まず与えられた等式を$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$の形に変形していきます。

$\sqrt{3}\gamma - i\beta = (\sqrt{3} - i)\alpha$

$\sqrt{3}\gamma - \sqrt{3}\alpha = i\beta - i\alpha$

$\sqrt{3}(\gamma - \alpha) = i(\beta - \alpha)$

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i}{\sqrt{3}}$

(イ) 次に、$\triangle ABC$の3つの角の大きさを求めます。$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$は、点$\alpha$を基準としたとき、線分$\overline{AB}$を回転させて線分$\overline{AC}$に一致させる複素数と解釈できます。この複素数の偏角が$\angle BAC$の大きさになります。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i}{\sqrt{3}}$の偏角を求めます。

$\frac{i}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}i$なので、偏角は$\frac{\pi}{2}$です。したがって$\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ （90度）

次に、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i}{\sqrt{3}}$の絶対値を求めます。これは$\frac{AC}{AB}$に等しくなります。

$|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = |\frac{i}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、$\frac{AC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$、つまり、$AC = \frac{1}{\sqrt{3}}AB$

$\triangle ABC$は直角三角形であるため、$AB^2 = AC^2 + BC^2$が成立します。

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = AB^2 - \frac{1}{3}AB^2 = \frac{2}{3}AB^2$

$BC = \sqrt{\frac{2}{3}}AB$

$\frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}AB}{\sqrt{\frac{2}{3}}AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$となり、$\angle ABC = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$

また、$\angle ACB = \frac{\pi}{2} - \angle ABC = \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}$の関係より$\angle ACB = \arctan(\sqrt{2})$となります。

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i}{\sqrt{3}}$

(イ) $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ (90度), $\angle ABC = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$, $\angle ACB = \arctan(\sqrt{2})$

$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$ (30度), $\angle ACB = \frac{\pi}{3}$ (60度)　ではありません。

$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$より、$AB = \sqrt{3}AC$となります。

$AB^2=AC^2+BC^2$なので、$3AC^2=AC^2+BC^2$となり、$BC^2=2AC^2$です。

よって、$BC=\sqrt{2}AC$となります。

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos(\angle ABC)=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\tan(\angle ABC)=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\angle ABC = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx 35.3^{\circ}$

$\angle ACB=90^{\circ}-35.3^{\circ}=54.7^{\circ}$

$\angle ACB=\arctan{\sqrt{2}}$

(ア) $\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{i}{\sqrt{3}}$

(イ) $\angle BAC = 90^{\circ}, \angle ABC = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx 35.3^{\circ}, \angle ACB = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54.7^{\circ}$