はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

画像には複数の円に関する問題が含まれています。主に以下の問題について解答します。

* 練習18：中心と半径が与えられた円の方程式を求める。

* 練習19：円の方程式から中心の座標と半径を求める。

* 練習20：直径の両端の座標から円の中心の座標、半径、方程式を求める。

* 練習21：与えられた方程式がどのような図形を表すか答える。

* 練習22：3点を通る円の方程式を求める。

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2. 解き方の手順**

* **練習18**

円の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、ここで $(a, b)$ は円の中心の座標、 $r$ は半径です。

(1) 中心 $(2, 3)$, 半径 $4$ の円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$ より、

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(2) 中心が原点 $(0, 0)$, 半径 $2$ の円の方程式は $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ より、

$x^2 + y^2 = 4$

(3) 中心 $(-2, 1)$, 半径 $\sqrt{10}$ の円の方程式は $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{10})^2$ より、

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$

* **練習19**

円の方程式 $(x + 3)^2 + y^2 = 8$ は、標準形 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ と比較すると、中心の座標は $(-3, 0)$ 、半径は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

* **練習20**

2点 $A(4, 0)$, $B(0, 2)$ を直径の両端とする円について、円の中心は線分ABの中点なので、中心の座標は $\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2, 1)$ です。

半径は、中心と点Aの距離で求められます。

$r = \sqrt{(4-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

したがって、円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$ より、

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$

* **練習21**

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ を平方完成すると、

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 = 3^2$

これは、中心 $(-2, 1)$, 半径 $3$ の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$ を平方完成すると、

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 8y) = -9$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = -9 + 9 + 16$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 = 4^2$

これは、中心 $(-3, -4)$, 半径 $4$ の円を表します。

* **練習22**

(1) 3点 $A(-2, 0)$, $B(-2, 8)$, $C(1, -1)$ を通る円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。各点の座標を代入すると、

$A(-2, 0): (-2)^2 + 0^2 - 2l + 0m + n = 0 \Rightarrow 4 - 2l + n = 0$

$B(-2, 8): (-2)^2 + 8^2 - 2l + 8m + n = 0 \Rightarrow 68 - 2l + 8m + n = 0$

$C(1, -1): 1^2 + (-1)^2 + l - m + n = 0 \Rightarrow 2 + l - m + n = 0$

これらの式を解きます。

$68 - 2l + 8m + n - (4 - 2l + n) = 0 \Rightarrow 64 + 8m = 0 \Rightarrow m = -8$

$2 + l - m + n - (4 - 2l + n) = 0 \Rightarrow -2 + 3l - m = 0 \Rightarrow -2 + 3l + 8 = 0 \Rightarrow 3l = -6 \Rightarrow l = -2$

$4 - 2(-2) + n = 0 \Rightarrow 4 + 4 + n = 0 \Rightarrow n = -8$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$ となります。

(2) 3点 $A(1, 3)$, $B(5, -5)$, $C(4, 2)$ を通る円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。各点の座標を代入すると、

$A(1, 3): 1^2 + 3^2 + l + 3m + n = 0 \Rightarrow 10 + l + 3m + n = 0$

$B(5, -5): 5^2 + (-5)^2 + 5l - 5m + n = 0 \Rightarrow 50 + 5l - 5m + n = 0$

$C(4, 2): 4^2 + 2^2 + 4l + 2m + n = 0 \Rightarrow 20 + 4l + 2m + n = 0$

これらの式を解きます。

$50 + 5l - 5m + n - (10 + l + 3m + n) = 0 \Rightarrow 40 + 4l - 8m = 0 \Rightarrow l - 2m = -10$

$20 + 4l + 2m + n - (10 + l + 3m + n) = 0 \Rightarrow 10 + 3l - m = 0 \Rightarrow 3l - m = -10$

$3l - m - (l - 2m) = -10 - (-10) \Rightarrow 2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$

$l - 2(-2l) = -10 \Rightarrow l + 4l = -10 \Rightarrow 5l = -10 \Rightarrow l = -2$

$m = -2(-2) = 4$

$10 + (-2) + 3(4) + n = 0 \Rightarrow 10 - 2 + 12 + n = 0 \Rightarrow 20 + n = 0 \Rightarrow n = -20$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ となります。

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3. 最終的な答え**

* 練習18:

(1) $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(2) $x^2 + y^2 = 4$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$

* 練習19:

中心 $(-3, 0)$, 半径 $2\sqrt{2}$

* 練習20:

中心 $(2, 1)$, 半径 $\sqrt{5}$, 方程式 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$

* 練習21:

(1) 中心 $(-2, 1)$, 半径 $3$ の円

(2) 中心 $(-3, -4)$, 半径 $4$ の円

* 練習22:

(1) $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$