三角形ABCにおいて、AB=13, BC=12, AC=5である。cos∠BAC = 5/13, sin∠BAC = 12/13である。内接円と辺ABとの接点をD, 辺ACとの接点をEとするとき、ADとDEの値を求め、さらに線分BEと線分CDの交点をP, 直線APと辺BCの交点をQとするとき、BQ/CQの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=13, BC=12, AC=5である。cos∠BAC = 5/13, sin∠BAC = 12/13である。内接円と辺ABとの接点をD, 辺ACとの接点をEとするとき、ADとDEの値を求め、さらに線分BEと線分CDの交点をP, 直線APと辺BCの交点をQとするとき、BQ/CQの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、ADの値を求める。三角形の内接円の性質より、AD = AEである。また、BD = BF, CE = CFである。ここで、AD = xとおくと、AE = xとなる。すると、BD = AB - AD = 13 - x, CE = AC - AE = 5 - xとなる。したがって、BF = 13 - x, CF = 5 - xである。

BC = BF + CFより、12 = (13 - x) + (5 - x)となる。

これを解くと、12 = 18 - 2x, 2x = 6, x = 3となる。したがって、AD = 3。問題文中にAD=1と書いてあるので、これは誤り。

AD = 3なのでAE = 3である。

次に、DEの値を求める。三角形ADEにおいて、AD = AE = 3, ∠BAC = Aである。余弦定理より、

$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos A$

$DE^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{5}{13}$

$DE^2 = 9 + 9 - \frac{90}{13}$

$DE^2 = 18 - \frac{90}{13} = \frac{234 - 90}{13} = \frac{144}{13}$

$DE = \sqrt{\frac{144}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13}$

最後に、BQ/CQの値を求める。チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{3}{10} \cdot \frac{BQ}{CQ} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BQ}{CQ} = \frac{1}{\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{6}{30}} = \frac{30}{6} = 5$

3. 最終的な答え

AD = 3

DE = $\frac{12\sqrt{13}}{13}$

BQ/CQ = 5

問題文中のAD=1, DE=$\frac{23}{\sqrt{45}}$, BQ/CQ=6は誤り。

AD=3, DE=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$, BQ/CQ=5が正しい。