点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)を通る直線$l$に、原点Oから垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)を通る直線$l$に、原点Oから垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線$l$の方向ベクトルを求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0, 4, 1) - (-1, 2, 3) = (1, 2, -2)$

ステップ2: 直線$l$のベクトル方程式を求める。

直線$l$上の任意の点Pは、パラメータ$t$を用いて

$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (-1, 2, 3) + t(1, 2, -2) = (-1+t, 2+2t, 3-2t)$

と表せる。

ステップ3: 点Hは直線$l$上にあるので、Hの座標は$(-1+t, 2+2t, 3-2t)$と表せる。

このとき、$\vec{OH} = (-1+t, 2+2t, 3-2t)$である。

ステップ4: $\vec{OH}$と$\vec{AB}$が垂直であることから、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$が成り立つ。

$(-1+t)(1) + (2+2t)(2) + (3-2t)(-2) = 0$

$-1+t + 4 + 4t - 6 + 4t = 0$

$9t - 3 = 0$

$9t = 3$

$t = \frac{1}{3}$

ステップ5: $t = \frac{1}{3}$をHの座標に代入する。

$H = (-1+\frac{1}{3}, 2+2(\frac{1}{3}), 3-2(\frac{1}{3})) = (-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$

3. 最終的な答え

Hの座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$

$\text{H} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3} \right)$

よって、それぞれの箱に入る数字は、順に 2, 8, 7 である。

答え：

H($\frac{-1|2}{3}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{7}{3}$)