一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心（対角線の交点）を結んでできる正八面体について、以下のものを求める問題です。 - 正八面体の1辺の長さ - 正八面体の体積 - 辺を共有する2つの面のなす角 $\theta$ に対する $\cos\theta$ の値

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心（対角線の交点）を結んでできる正八面体について、以下のものを求める問題です。

- 正八面体の1辺の長さ

- 正八面体の体積

- 辺を共有する2つの面のなす角 $\theta$ に対する $\cos\theta$ の値

2. 解き方の手順

(1) 正八面体の1辺の長さを求める。

立方体の各面の中心を結んでできる正八面体の1辺の長さは、立方体の面の対角線の半分となる。

立方体の1辺の長さが$a$なので、立方体の面の対角線の長さは$\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ となる。

したがって、正八面体の1辺の長さは $\frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ である。

(2) 正八面体の体積を求める。

正八面体は、合同な2つの四角錐を底面で貼り合わせた形をしている。

正八面体の頂点は立方体の各面の中心なので、四角錐の高さは $\frac{a}{2}$ である。

四角錐の底面は正方形で、その対角線の長さは正八面体の1辺の長さと同じである。

したがって、底面の1辺の長さは $\frac{a}{2}$ である。

四角錐の底面積は $(\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$ である。

四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{4} \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{24}$ である。

正八面体は2つの四角錐を合わせたものなので、体積は $2 \times \frac{a^3}{24} = \frac{a^3}{12}$ である。

(3) $\cos\theta$ を求める。

正八面体の隣り合う面のなす角 $\theta$ を求める。正八面体の中心から各頂点までの距離は等しく、正八面体の各面は正三角形である。

正八面体の1つの頂点から、それに隣接する2つの頂点を選び、これらの頂点を含む平面を考える。この平面と、正八面体の中心を通る平面との交線を考える。この交線と、正八面体の中心から選んだ頂点までの線分のなす角を$\frac{\pi - \theta}{2}$ とする。

正八面体の中心から頂点までの距離を$R$とすると、$R = \frac{a}{2}$であり、$R\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$である。

また、正八面体の辺の長さは$\frac{a}{\sqrt{2}}$である。

正八面体の隣り合う2つの面の法線ベクトルを$\vec{n_1}, \vec{n_2}$とすると、$\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$である。

正八面体の双対多面体である立方体を考えると、立方体の頂点は正八面体の面の中心に対応する。したがって、正八面体の隣り合う2つの面のなす角$\theta$は、立方体の隣り合う2つの頂点を結ぶベクトル$\vec{v_1}, \vec{v_2}$のなす角$\theta'$によって、$\theta = \pi - \theta'$となる。

$\cos\theta' = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|} = \frac{1}{3}$より、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$である。

3. 最終的な答え

- 正八面体の1辺の長さ: $\frac{a}{\sqrt{2}}$

- 正八面体の体積: $\frac{a^3}{12}$

- $\cos\theta = -\frac{1}{3}$