一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発し、辺AB上を毎秒1cmの速さでBに向かって進み、点Qは点Pと同時にBを出発し、辺BC上を毎秒2cmの速さでCに向かって進む。QがCに達するまでに、P, Q間の距離が最小になるのは、出発してから何秒後か。また、その最小の距離を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発し、辺AB上を毎秒1cmの速さでBに向かって進み、点Qは点Pと同時にBを出発し、辺BC上を毎秒2cmの速さでCに向かって進む。QがCに達するまでに、P, Q間の距離が最小になるのは、出発してから何秒後か。また、その最小の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、出発してからt秒後のPとQの位置を考える。

PはAからBへ向かうので、APの長さはt cm。したがって、PBの長さは $10 - t$ cm。

QはBからCへ向かうので、BQの長さは $2t$ cm。ただし、QがCに到達するのは $10/2 = 5$ 秒後なので、$0 \le t \le 5$ である。

PとQの距離をdとすると、三平方の定理より、

$d^2 = (10 - t)^2 + (2t)^2$

$d^2 = 100 - 20t + t^2 + 4t^2$

$d^2 = 5t^2 - 20t + 100$

$d^2$ が最小となるtを求めるために、$d^2$ を平方完成する。

$d^2 = 5(t^2 - 4t) + 100$

$d^2 = 5(t^2 - 4t + 4 - 4) + 100$

$d^2 = 5((t - 2)^2 - 4) + 100$

$d^2 = 5(t - 2)^2 - 20 + 100$

$d^2 = 5(t - 2)^2 + 80$

$d^2$ が最小となるのは、$t = 2$ のとき。このとき、$d^2 = 80$ となる。

$t = 2$ は $0 \le t \le 5$ を満たす。

最小の距離dは、$d = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ cm。

3. 最終的な答え

出発してから2秒後、最小の距離は$4\sqrt{5}$ cm。