$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $4:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、 (1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{OP}$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、(i) $AQ:QB$ を求めよ。(ii) $OP:PQ$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $4:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OP}$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、(i) $AQ:QB$ を求めよ。(ii) $OP:PQ$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{4}{5}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OC} + (1-t)\overrightarrow{OB} = t\frac{1}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{4}t$

$\frac{4}{5}s = 1-t$

これらの式から $s$ と $t$ を求める。

1つ目の式から $t = 4(1-s)$ を得る。

これを2つ目の式に代入すると、

$\frac{4}{5}s = 1 - 4(1-s) = 1 - 4 + 4s = 4s - 3$

$\frac{16}{5}s = 3$

$s = \frac{15}{16}$

よって、

$t = 4(1-\frac{15}{16}) = 4(\frac{1}{16}) = \frac{1}{4}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{15}{16})\vec{a} + \frac{15}{16}\frac{4}{5}\vec{b} = \frac{1}{16}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

または

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\frac{1}{4}\vec{a} + (1-\frac{1}{4})\vec{b} = \frac{1}{16}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

(2)

(i) 点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP} = \frac{k}{16}\vec{a} + \frac{3k}{4}\vec{b}$

点 $Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{k}{16} = 1-u$

$\frac{3k}{4} = u$

これらの式から $k$ と $u$ を求める。

1つ目の式から $k = 16(1-u)$ を得る。

これを2つ目の式に代入すると、

$\frac{3}{4}16(1-u) = u$

$12(1-u) = u$

$12 - 12u = u$

$12 = 13u$

$u = \frac{12}{13}$

よって、

$\overrightarrow{OQ} = (1-\frac{12}{13})\vec{a} + \frac{12}{13}\vec{b} = \frac{1}{13}\vec{a} + \frac{12}{13}\vec{b}$

$AQ:QB = 12:1$

(ii)

$k = 16(1-\frac{12}{13}) = 16\frac{1}{13} = \frac{16}{13}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{16}{13}\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{13}{16}\overrightarrow{OQ}$

よって $OP:OQ = 13:16$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} - \frac{13}{16}\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{16}\overrightarrow{OQ}$

$OP:PQ = \frac{13}{16}OQ : \frac{3}{16}OQ = 13:3$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{16}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

(2) (i) $AQ:QB = 12:1$ (ii) $OP:PQ = 13:3$