直線 $l: y = \frac{3}{4}x + 3$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。点Aは直線 $l$ と直線 $m$ の交点、点Bは直線 $l$ と $x$ 軸の交点、点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点です。 (1) 直線 $l$ の切片を答えます。 (2) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{3}{4}x + 3$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。点Aは直線 $l$ と直線 $m$ の交点、点Bは直線 $l$ と $x$ 軸の交点、点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点です。

(1) 直線 $l$ の切片を答えます。

(2) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式 $y = \frac{3}{4}x + 3$ において、切片は $y$ 切片であるため、$x=0$ のときの $y$ の値を求めれば良い。

$y = \frac{3}{4}(0) + 3 = 3$。

(2)

まず、点Aの座標を求める。点Aは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$\frac{3}{4}x + 3 = -x + 6$

$\frac{3}{4}x + x = 6 - 3$

$\frac{7}{4}x = 3$

$x = \frac{12}{7}$

$y = -x + 6 = -\frac{12}{7} + 6 = -\frac{12}{7} + \frac{42}{7} = \frac{30}{7}$

よって、点Aの座標は $(\frac{12}{7}, \frac{30}{7})$。

次に、点Bの座標を求める。点Bは直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y=0$ を代入する。

$0 = \frac{3}{4}x + 3$

$-\frac{3}{4}x = 3$

$x = -4$

よって、点Bの座標は $(-4, 0)$。

次に、点Cの座標を求める。点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y=0$ を代入する。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、点Cの座標は $(6, 0)$。

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺BCの中点を通る。BCの中点Mを求める。

M $= (\frac{-4+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$

点A $(\frac{12}{7}, \frac{30}{7})$ と点M $(1, 0)$ を通る直線の式を求める。

傾き $a = \frac{\frac{30}{7} - 0}{\frac{12}{7} - 1} = \frac{\frac{30}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{30}{5} = 6$

$y = 6x + b$ に点M $(1, 0)$ を代入すると、

$0 = 6(1) + b$

$b = -6$

よって、求める直線の式は $y = 6x - 6$。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $y = 6x - 6$