四面体ABCDにおいて、点A,B,C,Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で与えられている。辺ABを2:1に内分する点をP、辺CDを3:1に内分する点をQとし、線分PQの中点をMとする。このとき、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A,B,C,Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$で与えられている。辺ABを2:1に内分する点をP、辺CDを3:1に内分する点をQとし、線分PQの中点をMとする。このとき、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの位置ベクトルをそれぞれ求めます。点Pは線分ABを2:1に内分するので、

$$\vec{p} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$$

点Qは線分CDを3:1に内分するので、

$$\vec{q} = \frac{1\vec{c} + 3\vec{d}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$$

次に、点Mは線分PQの中点なので、

$$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}\right) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$$

3. 最終的な答え

$\vec{m} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$