問題16は、2点A(1, 3, -2)とB(4, -3, 1)が与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) 2点A, B間の距離 (2) 線分ABの中点の座標 (3) 線分ABを2:1に内分する点の座標 (4) 線分ABを2:1に外分する点の座標

1. 問題の内容

問題16は、2点A(1, 3, -2)とB(4, -3, 1)が与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) 2点A, B間の距離

(2) 線分ABの中点の座標

(3) 線分ABを2:1に内分する点の座標

(4) 線分ABを2:1に外分する点の座標

2. 解き方の手順

(1) 2点A, B間の距離

2点間の距離の公式 $AB = \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$ を用います。

$AB = \sqrt{(4-1)^2+(-3-3)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{3^2+(-6)^2+3^2} = \sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

(2) 線分ABの中点の座標

中点の座標は、各座標の平均を取ることで求められます。つまり、$(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}, \frac{a_3+b_3}{2})$です。

中点の座標は $(\frac{1+4}{2}, \frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{5}{2}, 0, -\frac{1}{2})$

(3) 線分ABを2:1に内分する点の座標

内分点の座標は $(\frac{na_1+mb_1}{m+n}, \frac{na_2+mb_2}{m+n}, \frac{na_3+mb_3}{m+n})$で求められます。ただし、今回は$m=2$、$n=1$です。

内分点の座標は $(\frac{1\cdot 1+2\cdot 4}{2+1}, \frac{1\cdot 3+2\cdot (-3)}{2+1}, \frac{1\cdot (-2)+2\cdot 1}{2+1}) = (\frac{1+8}{3}, \frac{3-6}{3}, \frac{-2+2}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{0}{3}) = (3, -1, 0)$

(4) 線分ABを2:1に外分する点の座標

外分点の座標は $(\frac{-na_1+mb_1}{m-n}, \frac{-na_2+mb_2}{m-n}, \frac{-na_3+mb_3}{m-n})$で求められます。ただし、今回は$m=2$、$n=1$です。

外分点の座標は $(\frac{-1\cdot 1+2\cdot 4}{2-1}, \frac{-1\cdot 3+2\cdot (-3)}{2-1}, \frac{-1\cdot (-2)+2\cdot 1}{2-1}) = (\frac{-1+8}{1}, \frac{-3-6}{1}, \frac{2+2}{1}) = (7, -9, 4)$

3. 最終的な答え

(1) 2点A, B間の距離: $3\sqrt{6}$

(2) 線分ABの中点の座標: $(\frac{5}{2}, 0, -\frac{1}{2})$

(3) 線分ABを2:1に内分する点の座標: $(3, -1, 0)$

(4) 線分ABを2:1に外分する点の座標: $(7, -9, 4)$