与えられた図形を隙間なく敷き詰めて正方形を作るには、最低何枚の図形が必要かという問題です。図形は、横が20、縦が5の長方形と、その上に幅10の半円が乗った形をしています。長方形の両端には、それぞれ縦5、横5の正方形から四分円を切り取ったような形がついています。

1. 問題の内容

与えられた図形を隙間なく敷き詰めて正方形を作るには、最低何枚の図形が必要かという問題です。図形は、横が20、縦が5の長方形と、その上に幅10の半円が乗った形をしています。長方形の両端には、それぞれ縦5、横5の正方形から四分円を切り取ったような形がついています。

2. 解き方の手順

まず、図形の面積を計算します。

長方形の面積は、$20 \times 5 = 100$ です。

半円の面積は、半径が5なので、$\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (5^2) = \frac{25\pi}{2}$ です。

正方形から四分円を切り取った図形の面積は、$5 \times 5 - \frac{1}{4} \pi r^2 = 25 - \frac{25\pi}{4}$です。これが2つあるので、$2 \times (25 - \frac{25\pi}{4}) = 50 - \frac{25\pi}{2}$です。

図形全体の面積は、$100 + \frac{25\pi}{2} + 50 - \frac{25\pi}{2} = 150$ です。

次に、敷き詰めてできる正方形の一辺の長さを考えます。図形の一番長い辺は20です。正方形の一辺の長さが20の場合、面積は$20 \times 20 = 400$です。必要な図形の枚数は$400 / 150 = 2.66...$なので、整数にするには3枚以上必要です。

正方形の一辺の長さが30の場合、面積は$30 \times 30 = 900$です。必要な図形の枚数は$900/150 = 6$。

正方形の一辺の長さが40の場合、面積は$40 \times 40 = 1600$です。必要な図形の枚数は$1600/150 = 10.66...$。

この図形を複数枚組み合わせて正方形を作ることを考えます。図形の横幅は20、縦幅は5+5=10、高さ5の半円の半径も5なので、縦方向に10です。正方形を作るためには、図形を並べて長さを揃える必要があります。例えば、横方向に図形を並べて、正方形の形に近づけます。図形の上下についている四分円の形状から、うまく組み合わせると、横方向に10の長さを埋めることができます。具体的には、図形2つを左右反転させて組み合わせることで、10の長さを埋めることが出来ます。

図形を横方向に2つ並べると、横の長さが40になり、縦の長さが10なので、面積は400になります。必要な図形の枚数は$400/150 = 2.66...$なので、整数にするには3枚以上必要です。

図形を横方向に3つ並べると、横の長さが60になります。図形を縦方向に6つ並べると縦の長さも60になるので、正方形ができます。このときの必要な図形の枚数は $3 \times 3 \times (2 \times 2) = 9 \times 4 = 36$ 枚になります。

より少ない枚数で正方形を作ることを考えます。図形の横の長さは20なので、横方向に並べて長さを揃えることを考えます。例えば、図形を2つ並べると、横の長さが40になり、縦の長さが10です。横方向に2つ、縦方向に2つ並べると、4枚の図形が必要で、横の長さは40、縦の長さは20になります。次に、図形の半円の部分とうまく組み合わせて正方形を作れないか考えます。図形4枚を並べたものをひっくり返して組み合わせることを考えます。

正方形の一辺の長さを考えます。20の倍数で、かつ5と半円を組み合わせられるように、40を考えます。面積は1600なので、150で割ると10.666...となり、整数になりません。

次の候補として、60を考えます。面積は3600なので、150で割ると24となります。

図形を横に3つ、縦に8つ並べると、24枚で長方形ができますが、正方形にはなりません。

横に6つ、縦に4つ並べると、24枚で長方形ができます。

図形の面積が150なので、正方形の面積が150の整数倍になる必要があります。150の約数で、正方形の辺の長さになりそうな数値を考えます。150 = 2*3*5*5なので、25, 30などがあります。

図形74枚で正方形ができるか考えます。$74 \times 150 = 11100$。$\sqrt{11100} \approx 105.35$。

図形48枚で正方形ができるか考えます。$48 \times 150 = 7200$。$\sqrt{7200} \approx 84.85$。

16枚で正方形ができると仮定して考えます。$16 \times 150 = 2400$。$\sqrt{2400} \approx 48.99$。一辺が約48.99の正方形を作る必要があります。

図形の形状を考慮すると、48枚が正方形を作るのに最も近いと考えられます。

3. 最終的な答え

5. 48枚