点 P(4, 5, 3) が与えられている。 (1) P から $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に下ろした垂線の足をそれぞれ A, B, C とする。点 A, B, C の座標を求めよ。 (2) P と $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に関して対称な点をそれぞれ D, E, F とする。点 D, E, F の座標を求めよ。 (3) 原点 O と P(4, 5, 3) の距離を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

点 P(4, 5, 3) が与えられている。

(1) P から $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に下ろした垂線の足をそれぞれ A, B, C とする。点 A, B, C の座標を求めよ。

(2) P と $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に関して対称な点をそれぞれ D, E, F とする。点 D, E, F の座標を求めよ。

(3) 原点 O と P(4, 5, 3) の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

- $xy$ 平面への垂線の足 A は、z 座標が 0 である。A(4, 5, 0)

- $yz$ 平面への垂線の足 B は、x 座標が 0 である。B(0, 5, 3)

- $zx$ 平面への垂線の足 C は、y 座標が 0 である。C(4, 0, 3)

(2)

- $xy$ 平面に関して対称な点 D は、z 座標の符号が変わる。D(4, 5, -3)

- $yz$ 平面に関して対称な点 E は、x 座標の符号が変わる。E(-4, 5, 3)

- $zx$ 平面に関して対称な点 F は、y 座標の符号が変わる。F(4, -5, 3)

(3)

- 原点 O(0, 0, 0) と点 P(4, 5, 3) の距離は、距離の公式を用いて求める。

$OP = \sqrt{(4-0)^2 + (5-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) A(4, 5, 0), B(0, 5, 3), C(4, 0, 3)

(2) D(4, 5, -3), E(-4, 5, 3), F(4, -5, 3)

(3) $5\sqrt{2}$

## 問題9

1. 問題の内容

点 P(-3, 5, 1) が与えられている。

(1) P から $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に下ろした垂線の足をそれぞれ A, B, C とする。点 A, B, C の座標を求めよ。

(2) P と $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面に関して対称な点をそれぞれ D, E, F とする。点 D, E, F の座標を求めよ。

(3) 原点 O と P(-3, 5, 1) の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

- $xy$ 平面への垂線の足 A は、z 座標が 0 である。A(-3, 5, 0)

- $yz$ 平面への垂線の足 B は、x 座標が 0 である。B(0, 5, 1)

- $zx$ 平面への垂線の足 C は、y 座標が 0 である。C(-3, 0, 1)

(2)

- $xy$ 平面に関して対称な点 D は、z 座標の符号が変わる。D(-3, 5, -1)

- $yz$ 平面に関して対称な点 E は、x 座標の符号が変わる。E(3, 5, 1)

- $zx$ 平面に関して対称な点 F は、y 座標の符号が変わる。F(-3, -5, 1)

(3)

- 原点 O(0, 0, 0) と点 P(-3, 5, 1) の距離は、距離の公式を用いて求める。

$OP = \sqrt{(-3-0)^2 + (5-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35}$

3. 最終的な答え

(1) A(-3, 5, 0), B(0, 5, 1), C(-3, 0, 1)

(2) D(-3, 5, -1), E(3, 5, 1), F(-3, -5, 1)

(3) $\sqrt{35}$