(1) 原点$(0,0)$と直線$3x+5y+7=0$の距離を求めます。 (2) 点$(-3, 2)$と直線$y = 2x + 5$の距離を求めます。

## 問29

1. 問題の内容

(1) 原点$(0,0)$と直線$3x+5y+7=0$の距離を求めます。

(2) 点$(-3, 2)$と直線$y = 2x + 5$の距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点と直線の距離の公式を使います。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられます。

原点$(0, 0)$と直線$3x + 5y + 7 = 0$の場合、$x_0 = 0, y_0 = 0, a = 3, b = 5, c = 7$を代入します。

$d = \frac{|3(0) + 5(0) + 7|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{7}{\sqrt{34}} = \frac{7\sqrt{34}}{34}$

(2) まず、直線の方程式を一般形$ax + by + c = 0$に書き換えます。

$y = 2x + 5$より、$2x - y + 5 = 0$となります。

点$(-3, 2)$と直線$2x - y + 5 = 0$について、$x_0 = -3, y_0 = 2, a = 2, b = -1, c = 5$を距離の公式に代入します。

$d = \frac{|2(-3) - 1(2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - 2 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7\sqrt{34}}{34}$

(2) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

## 問30

1. 問題の内容

(1) 2点$A(2, 3), B(5, 7)$を通る直線の方程式を求めます。

(2) 点$C(4, -1)$と直線ABの距離を求めます。

(3) 三角形ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの傾き$m$は、$m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3}$です。

直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$の形で表せます。点A$(2, 3)$を通るので、$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)$となります。

これを整理すると、$3(y - 3) = 4(x - 2)$より、$3y - 9 = 4x - 8$となり、$4x - 3y + 1 = 0$が直線ABの方程式です。

(2) 点$C(4, -1)$と直線$4x - 3y + 1 = 0$の距離を求めます。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|4(4) - 3(-1) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|16 + 3 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

(3) 三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{点Cと直線ABの距離}$で計算できます。

ABの長さは、$\sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$です。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$です。

3. 最終的な答え

(1) $4x - 3y + 1 = 0$

(2) $4$

(3) $10$