三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OBを1:2に内分する点をMとする。線分OLと線分AMの交点をPとするとき、AP:PMを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OBを1:2に内分する点をMとする。線分OLと線分AMの交点をPとするとき、AP:PMを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。

点Lは辺ABを2:3に内分するので、

$$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$$

点Mは辺OBを1:2に内分するので、

$$\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$$

点Pは線分OL上にあるので、実数$s$を用いて

$$\vec{OP} = s\vec{OL} = s\left(\frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}\right) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$$

また、点Pは線分AM上にあるので、実数$t$を用いて

$$\vec{AP} = t\vec{AM}$$

$$\vec{OP} - \vec{OA} = t(\vec{OM} - \vec{OA})$$

$$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{OM} - t\vec{OA} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b}$$

$\vec{OP}$の2つの表示を比較すると、

$$\frac{3s}{5} = 1-t$$

$$\frac{2s}{5} = \frac{t}{3}$$

この連立方程式を解く。

2つ目の式より、$t = \frac{6s}{5}$。これを1つ目の式に代入すると、

$$\frac{3s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$$

$$3s = 5 - 6s$$

$$9s = 5$$

$$s = \frac{5}{9}$$

よって、$t = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2}{3}$

$\vec{AP} = t\vec{AM}$より、$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AM}$なので、AP:PM = 2:1

3. 最終的な答え

AP:PM = 2:1