6つの幾何学の問題があります。 (1) 三角形の3本の中線が交わる点を、三角形の何というか。 (2) 図のように、AB=2, BC=4, CA=3である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、BDを求めよ。 (3) 図のように、円に内接する四角形ABCDにおいて、∠BAD = 125°のとき、∠BCDを求めよ。 (4) 図のように、円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分AB, CDの交点をPとする。PA=4, PB=6, PC=3であるとき、PDを求めよ。 (5) 図のように、三角形ABCの外接円が、点Aで直線TT'に接している。∠BAC=70°, ∠T'AB=60°であるとき、∠ABCを求めよ。 (6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

6つの幾何学の問題があります。

(1) 三角形の3本の中線が交わる点を、三角形の何というか。

(2) 図のように、AB=2, BC=4, CA=3である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、BDを求めよ。

(3) 図のように、円に内接する四角形ABCDにおいて、∠BAD = 125°のとき、∠BCDを求めよ。

(4) 図のように、円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分AB, CDの交点をPとする。PA=4, PB=6, PC=3であるとき、PDを求めよ。

(5) 図のように、三角形ABCの外接円が、点Aで直線TT'に接している。∠BAC=70°, ∠T'AB=60°であるとき、∠ABCを求めよ。

(6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の3本の中線が交わる点は、三角形の重心です。

(2) 角の二等分線の性質より、$BD/CD = AB/AC$ が成り立つ。$BD+CD = BC = 4$ なので、$CD = 4-BD$。

よって、$BD/(4-BD) = 2/3$。これを解くと、$3BD = 8 - 2BD$、$5BD = 8$、$BD = 8/5 = 1.6$。

(3) 円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 125° = 55°。

(4) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。よって、$4 \cdot 6 = 3 \cdot PD$、$24 = 3PD$、$PD = 8$。

(5) 接弦定理より、∠BAC = ∠BTT' + ∠T'AC なので、∠BTT' = ∠BAC - ∠T'AC = 70° - 60° = 10°。

また、接弦定理より、∠ABC = ∠T'AB = 60°。

(6) 2つの円が外接するとき、中心間の距離は半径の和に等しい。したがって、4cm + 3cm = 7cm。

3. 最終的な答え

(1) 重心

(2) 1.6

(3) 55

(4) 8

(5) 60

(6) 7