直線 $l: y = \frac{1}{3}x + 5$, 直線 $m: y = 2x$, 直線 $n: y = -\frac{1}{3}x$ がある。直線 $l$ と直線 $m$ の交点をA, 直線 $l$ と直線 $n$ の交点をBとする。 (1) 点Aの座標を求めよ。 (2) 三角形OABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{3}x + 5$, 直線 $m: y = 2x$, 直線 $n: y = -\frac{1}{3}x$ がある。直線 $l$ と直線 $m$ の交点をA, 直線 $l$ と直線 $n$ の交点をBとする。

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) 三角形OABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式

$y = \frac{1}{3}x + 5$

$y = 2x$

を解く。

$2x = \frac{1}{3}x + 5$

$6x = x + 15$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = 2x = 2(3) = 6$

したがって、点Aの座標は $(3, 6)$ である。

(2) 点Bは直線 $l$ と直線 $n$ の交点なので、連立方程式

$y = \frac{1}{3}x + 5$

$y = -\frac{1}{3}x$

を解く。

$\frac{1}{3}x + 5 = -\frac{1}{3}x$

$\frac{2}{3}x = -5$

$x = -\frac{15}{2}$

$y = -\frac{1}{3}x = -\frac{1}{3} (-\frac{15}{2}) = \frac{5}{2}$

したがって、点Bの座標は $(-\frac{15}{2}, \frac{5}{2})$ である。

三角形OABの面積を求める。

点A $(3, 6)$ を通る直線 $y = kx$ は原点Oを通る。

直線ABの方程式は $y = \frac{1}{3}x + 5$ である。

直線OAの傾きは $\frac{6}{3} = 2$ である。

直線OBの傾きは $\frac{5/2}{-15/2} = -\frac{1}{3}$ である。

三角形OABの面積は、原点を挟んだ二つの三角形の面積の和で求められる。

点A $(3, 6)$ と点B $(-\frac{15}{2}, \frac{5}{2})$ を結ぶ直線は $y = \frac{1}{3}x + 5$ である。

この直線とy軸の交点は $(0, 5)$ である。

これを点Cとする。OCの長さは5である。

点Aからy軸までの距離は3である。

点Bからy軸までの距離は $\frac{15}{2}$ である。

三角形OACの面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$

三角形OBCの面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{15}{2} = \frac{75}{4}$

三角形OABの面積は $\frac{15}{2} + \frac{75}{4} = \frac{30}{4} + \frac{75}{4} = \frac{105}{4}$

3. 最終的な答え

(1) A(3, 6)

(2) $\frac{105}{4}$