2つの円 $x^2+y^2=4$ と $x^2+y^2-4x-2y-8=0$ の交点と点 $(-2, 1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2+y^2=4$ と $x^2+y^2-4x-2y-8=0$ の交点と点 $(-2, 1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの円 $f(x, y) = x^2+y^2-4=0$ と $g(x, y) = x^2+y^2-4x-2y-8=0$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$f(x, y) + k g(x, y) = 0$ と表すことができます。

つまり、求める円の方程式は

$x^2+y^2-4 + k(x^2+y^2-4x-2y-8) = 0$

と表せます。

この円が点 $(-2, 1)$ を通るので、代入して $k$ の値を求めます。

$(-2)^2 + 1^2 - 4 + k((-2)^2 + 1^2 - 4(-2) - 2(1) - 8) = 0$

$4 + 1 - 4 + k(4 + 1 + 8 - 2 - 8) = 0$

$1 + k(3) = 0$

$3k = -1$

$k = -\frac{1}{3}$

これを円の方程式に代入します。

$x^2+y^2-4 -\frac{1}{3}(x^2+y^2-4x-2y-8) = 0$

両辺に3をかけて

$3(x^2+y^2-4) - (x^2+y^2-4x-2y-8) = 0$

$3x^2+3y^2-12 - x^2 - y^2 + 4x + 2y + 8 = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$

両辺を2で割って

$x^2 + y^2 + 2x + y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + 2x + y - 2 = 0$