点 P(-2, 3, 4) と直線 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3}$ との距離を求めよ。

1. 問題の内容

点 P(-2, 3, 4) と直線 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3}$ との距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線のパラメータ表示を求める。

$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3} = t$ とおくと、

$x = t + 1$

$y = 2t - 2$

$z = -3t - 3$

となる。よって、直線上の点を Q(t+1, 2t-2, -3t-3) とする。

次に、ベクトル $\vec{PQ}$ を求める。

$\vec{PQ} = (t+1 - (-2), 2t-2 - 3, -3t-3 - 4) = (t+3, 2t-5, -3t-7)$

直線 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3}$ の方向ベクトルは $\vec{d} = (1, 2, -3)$ である。

$\vec{PQ}$ が $\vec{d}$ と垂直であるとき、点 P と直線の距離は最小となる。

したがって、$\vec{PQ} \cdot \vec{d} = 0$ となる t を求める。

$(t+3) \cdot 1 + (2t-5) \cdot 2 + (-3t-7) \cdot (-3) = 0$

$t+3 + 4t - 10 + 9t + 21 = 0$

$14t + 14 = 0$

$14t = -14$

$t = -1$

t = -1 を $\vec{PQ}$ に代入すると、

$\vec{PQ} = (-1+3, 2(-1)-5, -3(-1)-7) = (2, -7, -4)$

点 P と直線の距離は $|\vec{PQ}|$ であるから、

$\sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{69}$