2点 $A(-5, 6)$ と $B(3, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(-5, 6)$ と $B(3, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の中心は、直径の両端の中点である。

中点の座標は、$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ で求められるので、中心の座標は、

$\left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{6 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1, 5)$ となる。

次に、円の半径を求める。半径は、中心から円上の点までの距離である。

中心 $(-1, 5)$ と点 $B(3, 4)$ の距離を求める。

距離の公式は、$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ である。

$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(3+1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4^2 + 1} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

したがって、半径 $r = \sqrt{17}$

円の方程式は、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表される。

ここで、中心が $(a, b) = (-1, 5)$ で、半径が $r = \sqrt{17}$ であるから、

$(x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{17})^2$

$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 17$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 17$

$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 26 = 17$

$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 9 = 0$

3. 最終的な答え

円の方程式は、$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 9 = 0$ 、または標準形で$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 17$