座標平面において、円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ 上に中心があり、$x$軸と$y$軸の両方に接する円のうち、半径が最大となるものを求めよ。

1. 問題の内容

座標平面において、円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ 上に中心があり、$x$軸と$y$軸の両方に接する円のうち、半径が最大となるものを求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は、$(r, r)$ または $(-r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, -r)$ と表すことができる。ただし、$r$は円の半径である。

ここでは、円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ 上に中心があるので、

$(r-2)^2 + (r-3)^2 = 25$ または $(-r-2)^2 + (r-3)^2 = 25$ または $(r-2)^2 + (-r-3)^2 = 25$ または $(-r-2)^2 + (-r-3)^2 = 25$ を満たす。

(1) $(r-2)^2 + (r-3)^2 = 25$ の場合

$r^2 - 4r + 4 + r^2 - 6r + 9 = 25$

$2r^2 - 10r + 13 = 25$

$2r^2 - 10r - 12 = 0$

$r^2 - 5r - 6 = 0$

$(r-6)(r+1) = 0$

$r = 6, -1$

$r>0$より、$r = 6$

(2) $(-r-2)^2 + (r-3)^2 = 25$ の場合

$(r+2)^2 + (r-3)^2 = 25$

$r^2 + 4r + 4 + r^2 - 6r + 9 = 25$

$2r^2 - 2r + 13 = 25$

$2r^2 - 2r - 12 = 0$

$r^2 - r - 6 = 0$

$(r-3)(r+2) = 0$

$r = 3, -2$

$r>0$より、$r = 3$

(3) $(r-2)^2 + (-r-3)^2 = 25$ の場合

$(r-2)^2 + (r+3)^2 = 25$

$r^2 - 4r + 4 + r^2 + 6r + 9 = 25$

$2r^2 + 2r + 13 = 25$

$2r^2 + 2r - 12 = 0$

$r^2 + r - 6 = 0$

$(r+3)(r-2) = 0$

$r = -3, 2$

$r>0$より、$r = 2$

(4) $(-r-2)^2 + (-r-3)^2 = 25$ の場合

$(r+2)^2 + (r+3)^2 = 25$

$r^2 + 4r + 4 + r^2 + 6r + 9 = 25$

$2r^2 + 10r + 13 = 25$

$2r^2 + 10r - 12 = 0$

$r^2 + 5r - 6 = 0$

$(r+6)(r-1) = 0$

$r = -6, 1$

$r>0$より、$r = 1$

$r$が最大となるのは、$r=6$の時である。このとき、円の中心は$(6,6)$である。

円の方程式は、$(x-6)^2 + (y-6)^2 = 6^2 = 36$

3. 最終的な答え

$(x-6)^2 + (y-6)^2 = 36$