2点O(0,0), A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点O(0,0), A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。

点Pから点O(0,0)までの距離を$PO$、点Pから点A(6,0)までの距離を$PA$とすると、問題文より

$\frac{PO}{PA} = \frac{2}{1}$

が成り立ちます。

これを式変形すると、

$PO = 2PA$

となります。

距離の公式から、

$PO = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

$PA = \sqrt{(x-6)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

なので、

$\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 + y^2 = 4((x-6)^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4(x^2 - 12x + 36 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 48x + 3y^2 + 144$

両辺を3で割ると、

$0 = x^2 - 16x + y^2 + 48$

平方完成すると、

$0 = (x - 8)^2 - 64 + y^2 + 48$

$(x - 8)^2 + y^2 = 16 = 4^2$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心(8, 0)、半径4の円です。

$(x - 8)^2 + y^2 = 16$