与えられた2つの2次方程式がどのような図形を表すか答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 11 = 0$ (2) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次方程式がどのような図形を表すか答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 11 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 0$

2. 解き方の手順

どちらの式も $x$ と $y$ の2次式なので、円の方程式の形に変形できる可能性があります。

円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で表され、中心が $(a, b)$、半径が $r$ の円を表します。

この形に変形するために、平方完成を行います。

(1) $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 11 = 0$

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 6y) = 11$

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 11 + 16 + 9$

$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 36 = 6^2$

これは中心が $(-4, 3)$、半径が $6$ の円です。

(2) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) = -5$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = -5 + 4 + 1$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 0$

これは中心が $(2, 1)$、半径が $0$ の円です。

つまり、点 $(2, 1)$ を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-4, 3)$, 半径 $6$ の円

(2) 点 $(2, 1)$