正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。 (1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

まず、正八角形の1つの辺を選びます。正八角形には8つの辺があるので、辺の選び方は8通りです。選んだ辺と1辺だけを共有する三角形を作るには、残りの1つの頂点は、選んだ辺の両隣の頂点以外の頂点を選ぶ必要があります。正八角形の頂点は全部で8個なので、両隣の2個を除くと、残りの頂点の数は $8 - 2 - 2 = 4$ 個です。したがって、1つの辺に対して4つの三角形ができます。したがって、正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は $8 \times 4 = 32$ 個です。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正八角形の3つの頂点を選んで三角形を作る総数を計算します。これは8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせなので、$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

次に、正八角形と2辺を共有する三角形の個数を計算します。正八角形において隣り合った3つの頂点を選ぶと2辺を共有する三角形ができます。そのような頂点の選び方は8通りです。

次に、正八角形と1辺を共有する三角形の個数を計算します。これは(1)で計算した通り、32個です。

最後に、正八角形と辺を共有しない三角形の個数は、三角形を作る総数から、2辺を共有する三角形の個数と1辺を共有する三角形の個数を引いたものです。したがって、$56 - 8 - 32 = 16$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形は 32 個ある。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形は 16 個ある。