与えられた数学の問題は、以下の8つの小問から構成されています。 (1) 2点 A(-1, 2), B(7, 6) に対して、線分 AB を 1:3 に内分する点の座標を求めよ。 (2) 2点 (-3, -2), (5, 4) を通る直線の方程式を求めよ。 (3) 点 (5, 2) を通り、直線 2x - 3y + 1 = 0 に平行な直線の方程式を求めよ。 (4) 原点を通り、直線 x + 3y + 8 = 0 に垂直な直線の方程式を求めよ。 (5) 点 (1, -2) と直線 x + 2y + 1 = 0 の距離を求めよ。 (6) 中心の座標が (-2, 1)、半径 3 の円の方程式を求めよ。 (7) 中心の座標が (3, -4) で x 軸と接する円の方程式を求めよ。 (8) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 (2, -1) における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の8つの小問から構成されています。

(1) 2点 A(-1, 2), B(7, 6) に対して、線分 AB を 1:3 に内分する点の座標を求めよ。

(2) 2点 (-3, -2), (5, 4) を通る直線の方程式を求めよ。

(3) 点 (5, 2) を通り、直線 2x - 3y + 1 = 0 に平行な直線の方程式を求めよ。

(4) 原点を通り、直線 x + 3y + 8 = 0 に垂直な直線の方程式を求めよ。

(5) 点 (1, -2) と直線 x + 2y + 1 = 0 の距離を求めよ。

(6) 中心の座標が (-2, 1)、半径 3 の円の方程式を求めよ。

(7) 中心の座標が (3, -4) で x 軸と接する円の方程式を求めよ。

(8) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 (2, -1) における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内分点の座標を求める公式を使います。

$P(x, y)$が線分ABを$m:n$に内分するとき、$x = \frac{nx_A + mx_B}{m+n}, y = \frac{ny_A + my_B}{m+n}$

(2) 2点を通る直線の方程式を求める公式を使います。

2点$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$を通る直線の方程式は、$\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

(3) 平行な直線の傾きは等しいことを利用します。

$2x - 3y + 1 = 0$より、$3y = 2x + 1$なので、$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$。傾きは$\frac{2}{3}$。

点$(x_1, y_1)$を通り傾きが$m$の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$

(4) 垂直な直線の傾きの積は-1であることを利用します。

$x + 3y + 8 = 0$より、$3y = -x - 8$なので、$y = -\frac{1}{3}x - \frac{8}{3}$。傾きは$-\frac{1}{3}$。

垂直な直線の傾きは3。原点を通るので、$y = 3x$

(5) 点と直線の距離の公式を使います。

点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離は、$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(6) 円の方程式の一般形を使います。

中心$(a, b)$、半径$r$の円の方程式は、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

(7) x軸に接する円は、中心のy座標の絶対値が半径と等しいことを利用します。

中心$(3, -4)$、半径$r = |-4| = 4$。

(8) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$x_1x + y_1y = r^2$

3. 最終的な答え

(1) (1, 3)

A(-1, 2), B(7, 6) を 1:3 に内分する点の座標は、

$x = \frac{3 \cdot (-1) + 1 \cdot 7}{1+3} = \frac{-3+7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot 6}{1+3} = \frac{6+6}{4} = \frac{12}{4} = 3$

(2) $3x - 4y + 1 = 0$

$\frac{y-(-2)}{x-(-3)} = \frac{4-(-2)}{5-(-3)}$

$\frac{y+2}{x+3} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$4(y+2) = 3(x+3)$

$4y + 8 = 3x + 9$

$3x - 4y + 1 = 0$

(3) $2x - 3y - 4 = 0$

$y - 2 = \frac{2}{3}(x - 5)$

$3(y - 2) = 2(x - 5)$

$3y - 6 = 2x - 10$

$2x - 3y - 4 = 0$

(4) $y = 3x$

求める直線は、$y = 3x$

(5) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(6) $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9$

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9$

(7) $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 16$

$(x-3)^2 + (y-(-4))^2 = 4^2$

$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 16$

(8) $2x - y = 5$

$2x + (-1)y = 5$

$2x - y = 5$