三角形OABと三角形OPQがあり、線分ABと線分PQの交点をRとする。点Pは線分OAを4:1に内分し、点Rは線分ABを1:1に内分する。このとき、点Bは線分OQを何対何に内分するかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形OABと三角形OPQがあり、線分ABと線分PQの交点をRとする。点Pは線分OAを4:1に内分し、点Rは線分ABを1:1に内分する。このとき、点Bは線分OQを何対何に内分するかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OP}=k\vec{OQ}$とおく。

$\vec{OR}$について、点Rは線分ABを1:1に内分するので、

$$\vec{OR}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}$$

また、点Rは線分PQ上にあるので、実数sを用いて

$$\vec{OR}=s\vec{OP}+(1-s)\vec{OQ}$$

と表せる。$\vec{OP}=\frac{4}{5}\vec{OA}$なので、

$$\vec{OR}=s(\frac{4}{5}\vec{OA})+(1-s)\vec{OQ}$$

これらを等式で結ぶと、

$$\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}=s(\frac{4}{5}\vec{OA})+(1-s)\vec{OQ}$$

$\vec{OB}$について整理すると

$$\vec{OB}=\frac{8s}{5}\vec{OA}- \vec{OA}+2(1-s)\vec{OQ}$$

$$\vec{OB}=(\frac{8s}{5}-1)\vec{OA}+2(1-s)\vec{OQ}$$

$\vec{OA}$と$\vec{OQ}$は一次独立なので、$\frac{8s}{5}-1=0$となる。

$s=\frac{5}{8}$

これを代入すると、

$$\vec{OB}=2(1-\frac{5}{8})\vec{OQ}=\frac{6}{8}\vec{OQ}=\frac{3}{4}\vec{OQ}$$

よって点Bは線分OQを3:1に内分する。

3. 最終的な答え

3:1