(1) 点A(2,3)と点B(-1,-1)の間の距離ABを求め、線分ABの中点Mの座標を求める。 (2) 2直線 $x+2y+5=0$ と $2x-3y-11=0$ の交点の座標を求める。 (3) 傾きが-2で、点(-2,2)を通る直線の式を求め、点(-1,2)を通り直線$\ell$と平行な直線の式を求める。 (4) 原点を中心とし、半径が3である円の方程式を求める。 (5) 半径が5の円Oと半径が3の円O'があり、中心間の距離をdとする。2つの円が外接するときと内接するときのdの値を求める。

1. 問題の内容

(1) 点A(2,3)と点B(-1,-1)の間の距離ABを求め、線分ABの中点Mの座標を求める。

(2) 2直線 $x+2y+5=0$ と $2x-3y-11=0$ の交点の座標を求める。

(3) 傾きが-2で、点(-2,2)を通る直線の式を求め、点(-1,2)を通り直線$\ell$と平行な直線の式を求める。

(4) 原点を中心とし、半径が3である円の方程式を求める。

(5) 半径が5の円Oと半径が3の円O'があり、中心間の距離をdとする。2つの円が外接するときと内接するときのdの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(2,3), B(-1,-1)のとき、

2点間の距離の公式より

$AB = \sqrt{(2-(-1))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

線分ABの中点Mの座標は、中点の公式より

$M(\frac{2+(-1)}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = M(\frac{1}{2}, \frac{2}{2}) = M(\frac{1}{2}, 1)$

(2) 2直線 $x+2y+5=0$ と $2x-3y-11=0$ の交点の座標を求める。

連立方程式を解く。

$x+2y+5=0$ より $x = -2y-5$

これを $2x-3y-11=0$ に代入すると

$2(-2y-5)-3y-11=0$

$-4y-10-3y-11=0$

$-7y-21=0$

$-7y=21$

$y=-3$

$x = -2(-3)-5 = 6-5 = 1$

よって交点の座標は $(1, -3)$

(3) 傾きが-2で、点(-2,2)を通る直線の式を求める。

$y-2 = -2(x-(-2))$

$y-2 = -2(x+2)$

$y-2 = -2x-4$

$y = -2x-2$

点(-1,2)を通り直線$\ell$と平行な直線の式を求める。

直線$\ell$の傾きは-2だから

$y-2 = -2(x-(-1))$

$y-2 = -2(x+1)$

$y-2 = -2x-2$

$y = -2x$

(4) 原点を中心とし、半径が3である円の方程式は

$x^2 + y^2 = 3^2$

$x^2 + y^2 = 9$

(5) 半径が5の円Oと半径が3の円O'があり、中心間の距離をdとする。2つの円が外接するときは

$d = 5+3 = 8$

内接するときは

$d = |5-3| = 2$

3. 最終的な答え

(1) AB = 5, M($\frac{1}{2}$, 1)

(2) (1, -3)

(3) y = -2x-2, y = -2x

(4) $x^2 + y^2 = 9$

(5) d = 8, d = 2