直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの式を求めよ。

2. 解き方の手順

求める直線の傾きを $m$ とします。

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

2直線のなす角 $\theta$ が $\frac{\pi}{4}$ であることから、

$$\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4} = 1$$

$\tan \theta$ は2直線の傾きを用いて以下のように表されます。

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

ここで、$m_1 = m$ , $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入すると、

$$1 = \left| \frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{m}{\sqrt{3}}} \right|$$

$$\left| \frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{m}{\sqrt{3}}} \right| = 1$$

場合分けをして絶対値を外します。

(i) $\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{m}{\sqrt{3}}} = 1$ のとき

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{m}{\sqrt{3}}$

$m - \frac{m}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$

$m = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

(ii) $\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{m}{\sqrt{3}}} = -1$ のとき

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = -1 - \frac{m}{\sqrt{3}}$

$m + \frac{m}{\sqrt{3}} = -1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = -1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}) = \frac{-\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$

$m = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-(\sqrt{3}-1)^2}{2} = \frac{-(3 -2\sqrt{3}+1)}{2} = \frac{-(4 - 2\sqrt{3})}{2} = -2 + \sqrt{3}$

よって、$m = 2 + \sqrt{3}$ または $m = -2 + \sqrt{3}$

求める直線は原点を通るので、$y = (2 + \sqrt{3})x$ または $y = (-2 + \sqrt{3})x$

3. 最終的な答え

$y = (2 + \sqrt{3})x, y = (-2 + \sqrt{3})x$