点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ円と点A, Bおよび点C, Dで交わっている。PA = 5, AB = 6, OD = 4 (円の半径), PC = xのとき、xの値を求めよ。Oは円の中心である。

1. 問題の内容

点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ円と点A, Bおよび点C, Dで交わっている。PA = 5, AB = 6, OD = 4 (円の半径), PC = xのとき、xの値を求めよ。Oは円の中心である。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用します。方べきの定理とは、円外の一点Pから円に2本の直線を引き、円との交点をA, B, C, Dとすると、PA * PB = PC * PDが成り立つというものです。

まず、PBの長さを求めます。PB = PA + AB = 5 + 6 = 11です。

次に、OD = 4であることから、円の直径は8です。したがって、PD = PC + CD = x + 8です。

方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

$5 \times 11 = x \times (x+8)$

$55 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 55 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x - 5)(x + 11) = 0$

よって、$x = 5$ または $x = -11$となります。

しかし、xは長さを表すので、正の値を取ります。したがって、$x = 5$です。

3. 最終的な答え

x = 5