点Pから円への2本の割線PAとPDが引かれている。PAの延長上に点Bがあり、PDの延長上に点Dがある。PA = 5, AB = 6, OD = 4, PC = xとする。xの値を求める問題。ただし、Oは円の中心である。

1. 問題の内容

点Pから円への2本の割線PAとPDが引かれている。PAの延長上に点Bがあり、PDの延長上に点Dがある。PA = 5, AB = 6, OD = 4, PC = xとする。xの値を求める問題。ただし、Oは円の中心である。

2. 解き方の手順

円の割線の性質より、点Pから円への2本の割線に対して

$PA \times PB = PC \times PD$

が成り立つ。ここで、

$PA = 5$

$PB = PA + AB = 5 + 6 = 11$

$PC = x$

$PD = PO + OD$

である。また、円の半径をrとすると、$OD = r = 4$である。

$PO = PC + CO = x + 4$

よって、$PD = PO + OD = x + 4 + 4 = x + 8$となる。

したがって、

$5 \times 11 = x \times (x+8)$

$55 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 55 = 0$

この二次方程式を解く。解の公式より、

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \times 1 \times (-55)}}{2 \times 1}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 220}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{284}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{71}}{2}$

$x = -4 \pm \sqrt{71}$

$x$は正の値なので、$x = -4 + \sqrt{71}$となる。

3. 最終的な答え

$x = -4 + \sqrt{71}$