座標空間における3点 $A(2,0,0)$, $B(0,0,2)$, $C(0,2,1)$ が与えられている。これらの点によって定まる平面を$\alpha$とし、原点Oに関して$\alpha$と対称な点をPとする。問題は、いくつかの幾何学的量を計算することである。

1. 問題の内容

座標空間における3点 $A(2,0,0)$, $B(0,0,2)$, $C(0,2,1)$ が与えられている。これらの点によって定まる平面を$\alpha$とし、原点Oに関して$\alpha$と対称な点をPとする。問題は、いくつかの幾何学的量を計算することである。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ の大きさ、および内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2)(-2) + (0)(2) + (2)(1) = 4 + 0 + 2 = 6$

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8 \cdot 9 - 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{72 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(2) Pから$\alpha$に下ろした垂線の足をHとする。$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB}$ を計算する。

平面$\alpha$の法線ベクトルは $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ と平行なので、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を法線ベクトルとして用いる。平面$\alpha$の方程式は $2(x-2) + 1(y-0) + 2(z-0) = 0$, すなわち $2x + y + 2z = 4$ である。

点PはOに関して$\alpha$と対称なので、$\overrightarrow{OP} = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t \\ t \\ 2t \end{pmatrix}$ とすると、$\frac{1}{2}\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} t \\ t/2 \\ t \end{pmatrix}$ が平面$\alpha$上にある。よって $2t + t/2 + 2t = 4$ より $9t/2 = 4$, $t = 8/9$。したがって、$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 16/9 \\ 8/9 \\ 16/9 \end{pmatrix}$ である。

$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とおくと、$\overrightarrow{OH}$ は平面$\alpha$上にあるので $2x + y + 2z = 4$。

また、$\overrightarrow{HP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 16/9 - x \\ 8/9 - y \\ 16/9 - z \end{pmatrix}$ は法線ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と平行なので、$\frac{16/9 - x}{2} = \frac{8/9 - y}{1} = \frac{16/9 - z}{2} = k$ とおく。

$x = 16/9 - 2k$, $y = 8/9 - k$, $z = 16/9 - 2k$ を $2x + y + 2z = 4$ に代入すると、

$2(16/9 - 2k) + (8/9 - k) + 2(16/9 - 2k) = 4$

$32/9 - 4k + 8/9 - k + 32/9 - 4k = 4$

$72/9 - 9k = 4$

$8 - 9k = 4$

$9k = 4$

$k = 4/9$

したがって、$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 16/9 - 8/9 \\ 8/9 - 4/9 \\ 16/9 - 8/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/9 \\ 4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = (8/9)(-2) + (4/9)(0) + (8/9)(2) = -16/9 + 0 + 16/9 = 0$

$\overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ とおくと、$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\begin{pmatrix} 8/9 \\ 4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -10/9 \\ 4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2s - 2t \\ 2t \\ 2s + t \end{pmatrix}$

$-2s - 2t = -10/9$, $2t = 4/9$, $2s + t = 8/9$

$t = 2/9$, $-2s - 4/9 = -10/9$, $-2s = -6/9$, $s = 1/3$

よって、$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$

(3) Pのx座標は $16/9$ なので、$\frac{16}{9}$

(4) 四面体PABCの体積は、四面体OABCの体積の2倍である。

四面体OABCの体積は $\frac{1}{6} |(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC}| = \frac{1}{6} | \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} | = \frac{1}{6} |-8| = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

したがって、四面体PABCの体積は $2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

(5) 点Dから四面体PABCの4つの面に下ろした垂線の長さがすべて等しいとき、その長さをrとする。四面体PABCの体積は $\frac{8}{3}$ であり、Dから各面に下ろした垂線の長さがrであるから、

$\frac{1}{3} r (S_{\triangle PAB} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle PBC} + S_{\triangle PAC}) = \frac{8}{3}$

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}| = \frac{1}{2} |\begin{pmatrix} 2-16/9 \\ -8/9 \\ -16/9-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -16/9 \\ -8/9 \\ 2-16/9 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2}|\begin{pmatrix} 2/3 \\ -8/9 \\ -34/9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -16/9 \\ -8/9 \\ 2/9 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2} |\begin{pmatrix} -16/81 - 272/81 \\ 544/81 + 4/27 \\ -16/27 - 128/81 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2}|\begin{pmatrix} -288/81 \\ 556/81 \\ -48/81 - 128/81 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2} |\begin{pmatrix} -32/9 \\ 556/81 \\ -176/81 \end{pmatrix}| = ...$

平面ABCの面積は3, $\overrightarrow{n} = (2,1,2)$

平面PAB：$A=(2,0,0)$, $B=(0,0,2)$, $P = (\frac{16}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9})$。$\overrightarrow{PA} = (\frac{2}{9},-\frac{8}{9},-\frac{16}{9})$, $\overrightarrow{PB} = (-\frac{16}{9},-\frac{8}{9},\frac{2}{9})$。面積は$\frac{1}{2}|\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}| = \frac{1}{2}\sqrt{(...)^2+(...)^2+(...)^2}$

$AB = 2\sqrt{2}, AC=3, BC = \sqrt{5}$

(6)点Q, Rがそれぞれ線分PC, AB上を動くとき,|QR|の最小値は

$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP} = (0,2,1)-(\frac{16}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}) = (-\frac{16}{9},\frac{10}{9},-\frac{7}{9})$.

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AQ}$

3. 最終的な答え

ア: 2, イ: 2, ウ: 3, エ: 6, オ: 3

カ: 0

キ: 1, ク: 3, ケ: 2, コ: 9

サシ: 16, ス: 9

セ: 8, ソ: 3

タ: , チ: , ツテ:

ト: , ナ: ,