原点Oと2点A(2, 0, -2), B(3, -1, 2)に対して、直線AB上の点Pがあり、$\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$（tは実数）が成り立っている。 (1) 点Pの座標をtを用いて表す。 (2) 点Pがxy平面上にあるとき、点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

原点Oと2点A(2, 0, -2), B(3, -1, 2)に対して、直線AB上の点Pがあり、$\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$（tは実数）が成り立っている。

(1) 点Pの座標をtを用いて表す。

(2) 点Pがxy平面上にあるとき、点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を求める。

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}$である。

$\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$なので、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB}$となる。

ここで、$\overrightarrow{OA} = (2, 0, -2)$、$\overrightarrow{OB} = (3, -1, 2)$であるから、

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3-2, -1-0, 2-(-2)) = (1, -1, 4)$となる。

よって、

$\overrightarrow{OP} = (2, 0, -2) + t(1, -1, 4) = (2+t, -t, -2+4t)$

したがって、点Pの座標は$(2+t, -t, -2+4t)$である。

(2) 点Pがxy平面上にあるとき、点Pの座標を求める。

点Pがxy平面上にあるということは、z座標が0であるということである。

したがって、$-2+4t = 0$となる。

これを解くと、$4t = 2$より、$t = \frac{1}{2}$となる。

このとき、点Pの座標は$(2+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -2+4(\frac{1}{2})) = (\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$となる。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標は$(2+t, -t, -2+4t)$

(2) 点Pの座標は$(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$