座標平面上に点 $O(0, 0), P_1(\sqrt{3}, 1), P_2(\sqrt{3}, 0)$ がある。点 $P_2$ から線分 $OP_1$ に下ろした垂線と線分 $OP_1$ との交点を $P_3$ とする。一般に、点 $P_{n-1}$ から線分 $OP_{n-2}$ に下ろした垂線と線分 $OP_{n-2}$ との交点を $P_n$ とする。 (1) 線分 $P_n P_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表せ。 (2) 三角形 $OP_n P_{n+1}$ の面積を $a_n$ とおき、$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ と定義する。$S_n$ は $2\sqrt{3}$ 以上にならないことを証明せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点 $O(0, 0), P_1(\sqrt{3}, 1), P_2(\sqrt{3}, 0)$ がある。点 $P_2$ から線分 $OP_1$ に下ろした垂線と線分 $OP_1$ との交点を $P_3$ とする。一般に、点 $P_{n-1}$ から線分 $OP_{n-2}$ に下ろした垂線と線分 $OP_{n-2}$ との交点を $P_n$ とする。

(1) 線分 $P_n P_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表せ。

(2) 三角形 $OP_n P_{n+1}$ の面積を $a_n$ とおき、$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ と定義する。$S_n$ は $2\sqrt{3}$ 以上にならないことを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $OP_1$ の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、$OP_1$ と $x$ 軸のなす角は $\frac{\pi}{6}$ である。

$P_1(\sqrt{3}, 1)$ であり、$P_2(\sqrt{3}, 0)$。

$OP_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$OP_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$

$\triangle O P_n P_{n+1}$ は直角三角形である。$\angle P_n O P_{n+1} = \frac{\pi}{6}$

$OP_1 = 2$

$OP_2 = \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{6})$

$OP_3 = \sqrt{3} \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}))^2$

$OP_n = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}))^{n-1} = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

$P_n P_{n+1} = OP_n \sin(\frac{\pi}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

(2) $a_n = \frac{1}{2} OP_n \cdot P_n P_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2(n-1)} = (\frac{3}{4})^{n-1}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{3}{4})^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{3}{4})^k = \frac{1 - (\frac{3}{4})^n}{1 - \frac{3}{4}} = 4 (1 - (\frac{3}{4})^n)$

$S_n = 4 (1 - (\frac{3}{4})^n) < 4$

$2 \sqrt{3} = 2 \cdot 1.732... = 3.464... < 4$

よって、$S_n$ は $2\sqrt{3}$ 以上にならない。

3. 最終的な答え

(1) $P_n P_{n+1} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{3}{4})^{k-1} = 4 (1 - (\frac{3}{4})^n) < 4$ であり、$S_n < 4$, $2\sqrt{3} < 4$ より、$S_n$ は $2\sqrt{3}$ 以上にならない。