三角形OABにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$が成り立っている。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとする。2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。 (1) $\vec{OR}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (2) 比PQ:QRを求めよ。 (3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$が成り立っている。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとする。2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。

(1) $\vec{OR}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(2) 比PQ:QRを求めよ。

(3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OR}$を求める。

まず、与えられた条件 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ から、$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求める。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$|2\vec{b} - \vec{a}|^2 = (2\vec{b} - \vec{a}) \cdot (2\vec{b} - \vec{a}) = 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 12$

$|\vec{a}|^2 = 4$なので、

$4 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 12$

整理すると、

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$

$-4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 8$

上の式を2倍して下の式に足すと、

$6|\vec{b}|^2 = 18$

$|\vec{b}|^2 = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{3}$

よって、

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3 = 5$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

次に、点Rは直線PQ上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OP} + s\vec{OQ} = (1-s)\frac{1}{4}\vec{a} + s\frac{5}{7}\vec{b}$

と表せる。

また、点Rは直線AB上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OR} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

したがって、

$(1-s)\frac{1}{4}\vec{a} + s\frac{5}{7}\vec{b} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{1-s}{4} = 1-t$

$\frac{5s}{7} = t$

これを解くと、

$\frac{1-s}{4} = 1 - \frac{5s}{7}$

$7(1-s) = 28 - 20s$

$7 - 7s = 28 - 20s$

$13s = 21$

$s = \frac{21}{13}$

$t = \frac{5}{7} \cdot \frac{21}{13} = \frac{15}{13}$

よって、

$\vec{OR} = (1-\frac{15}{13})\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

(2) 比PQ:QRを求める。

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\vec{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$, $\vec{OR} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

$\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b} - \frac{5}{7}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} - \frac{5}{91}\vec{b}$

$\vec{QR} = k\vec{PQ}$となる実数kを求める。

$-\frac{2}{13}\vec{a} - \frac{5}{91}\vec{b} = k(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a})$

$-\frac{2}{13} = -\frac{k}{4}$

$-\frac{5}{91} = \frac{5k}{7}$

よって、$k = \frac{8}{13}$

したがって、PQ:QR = 1:k = 1:(8/13) = 13:8。

よって、PQ:QR = 13:8

(3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求める。

三角形OABの面積をSとする。

三角形OPQの面積は、$\frac{1}{2}|\vec{OP} \times \vec{OQ}|$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\vec{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$より、

$\frac{1}{2}|\frac{1}{4}\vec{a} \times \frac{5}{7}\vec{b}| = \frac{5}{56} \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{56}S$

ここで、$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 3 - 1} = \frac{1}{2}\sqrt{11}$

よって、三角形OPQの面積は、$\frac{5}{56} \sqrt{11}$.

三角形QBRの面積は、$\frac{8}{13}$倍は三角形PQBの面積となる. $\frac{13}{8}QR = PQ$.

三角形OBQの面積は$\frac{5}{7}$S.

三角形OPQの面積は$\frac{5}{56}$S.

三角形BPQの面積は = OBQ - OPQ. よって、($5/7 - 5/56$)S = $(35/56)$S.

$\frac{8}{13}*(35/56)S=\frac{8*35}{13*56}S = \frac{5}{13}S$

したがって、三角形QBRの面積は$\frac{5}{13}S = \frac{5}{26}\sqrt{11}$.

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

(2) PQ:QR = 13:8

(3) 三角形OPQの面積は $\frac{5\sqrt{11}}{56}$, 三角形QBRの面積は $\frac{5\sqrt{11}}{26}$